汉密尔顿的伟大悖论是谓词的量化；一个听起来吓人的短语，但很容易解释。我们都知道，当我们说人是有理性的动物时，这个在措辞上完全没有量化的形式，我们指的是所有人，但不是指所有有理性的动物：它是有些或全部，就这个命题本身而言，有些可能就是全部。这个有些可能是全部就我们所言，或者说非全无，就是逻辑学家所说的有些。人们会以为{333}所有人是有些有理性的动物本该一直是逻辑上的表述方式：但谓词从未被量化过。少数提及这种可能性的人找到了不采纳它的理由，除了那个重要的理由，即亚里士多德没有采纳它。因为亚里士多德在古代在物理学或形而上学领域的统治，远不如他在逻辑学领域直至我们这个时代的绝对统治。逻辑学家们知道，在命题所有人是有理性的动物有理性的动物不是全称的，而是特称的，但没有人敢说所有人是有些有理性的动物，并发明有些有理性的动物是所有人这样的短语，直到汉密尔顿跃过了这道沟壑，不仅完成了一个表述体系，而且将其应用于三段论。
我自己的情况和他一样奇特：我提议将数学思维引入逻辑学，其程度让老派人士惊呼：
圣亚里士多德啊！多么疯狂的念头！
给他发个禁止出境令{710}吧！
大约二十年前，一位在这些领域地位很高的朋友兼对手（他远不像大多数人那样是亚里士多德和既定体系的宗派分子）给我写了如下的话：据说，仅次于塑造民族品味的人，最伟大的天才是败坏民族品味的人。因此，当我说我迄今一直将您视为一位伟大的逻辑异端首领时，我并非不敬，恰恰相反。柯勒律治说他认为这话是乔舒亚·雷诺兹爵士说的：对此，借用我曾听过的一句自相矛盾的话，我无法否认，因为他说这话时我不在场。我的朋友并没有召唤我悔改并与教会和解：我想他猜到我是一个不可救药的罪人。我那时的过错还算小：我继续构建三段论体系，全都与普通逻辑学不同，直到我有了六个体系，我起初给它们起的名字的首字母组合起来，{334}在我看到它们会组成什么之前，就排除了所有悔改的可能，因为组成了
RUE Not！（勿悔！）
而让旧学派的追随者可以选择这样排列字母：
tRUE? No！（真的？不！）
然而应该说明，问题不在于绝对的真假。没有人否认我称之为推理的任何东西是推理：他们说我的改动是逻辑之外的；它们是实质的，不是形式的；而逻辑学是一门形式的科学。
在不需要通常的曲解的情况下，实质与形式的区别很容易说明。一个形式是一个空的机器，例如每一个 x 是 Y；它可以填入实质，如每一个人是动物。逻辑学家们不愿看到他们的形式命题每一个 x 是 Y在三个点上是实质的：断言的程度、命题的量以及系词。纯粹的形式命题是存在概率 [alpha] 使得 x 与 Y 处于关系 L 中。总有一天，人们会为逻辑学在两千年中没有悖论者而感到遗憾：并且许多关于形式与实质区别的论述将成为笑柄。
我按照上面首先写出的字母顺序，给出每个体系的一个式（格）的实例。
关系逻辑——在这个体系中，采取的是形式关系，即系词可以是任何关系。作为一个实质例子，其中关系是血缘关系（指人的），取以下推理：x 是 Y 的兄弟；x 不是 Z 的叔叔；因此，Z 不是 Y 的孩子。关于关系及对其扩展的反对意见的讨论，见《剑桥哲学会刊》第十卷，第二部分；这是一篇晦涩难懂的大杂烩。
未定逻辑——在这个体系中，一个前提的成立，以及对另一个前提无能为力，可以推断出对某个结论无能为力。{335} 例如：有些人不能推究后果；我们不能确定存在对后果负责却不能推究后果的存在者；因此，我们不能确定所有人都要对自己行为的后果负责。
范例逻辑——这个体系，在我想到它作为修正汉密尔顿体系缺陷的一种方法很久之后，我才发现它正是亚里士多德本人的体系，尽管他的追随者已经偏离到了另一个体系。它使其主项和谓项成为范例，如下：任何一个人是一个动物；任何一个动物是一个会死的生物；因此，任何一个人是一个会死的生物。
数值逻辑——假设存在 100 个 Y：那么如果 70 个 x 是 Y，并且 40 个 Z 是 Y，则可以推出至少有 10 个 x 是 Z。汉密尔顿，其心智无法对符号进行概括，看到了大多数这个词会归入这个体系，并承认诸如大多数 Y 是 x；大多数 Y 是 Z；因此，有些 x 是 Z这样的三段论是有效的。
名谓逻辑——这是普通体系在命题形式上的大幅扩展。它在我的《逻辑学大纲》中有充分讨论。
换位逻辑——在这个三段论中，一个前提中的量被转换到另一个前提中。例如，有些 x 不是 Y；对于每一个 x，存在一个 Y 是 Z；因此，有些 Z 不是 x。
爱丁堡的威廉·汉密尔顿爵士是我有过的最好盟友和朋友之一。当我刚开始发表关于这个主题的思考时，他就在逻辑学界宣称我剽窃了他的成果——这反而引起了学界对我的关注。要知道，要是在以前，一个数学家写的逻辑学着作，哪怕带着点数学形式的外衣，也根本引不起亚里士多德学派那些人的兴趣，就像约翰·伯努利、詹姆斯·伯努利、兰伯特和盖尔格纳的遭遇一样——在我们这场讨论开始之前，就连博览群书的汉密尔顿也压根没听说过这些人。
当他发现剽窃的指控站不住脚后，倒是很有风度地撤回了这个说法；但在潜意识抄袭这点上，他始终有些摇摆，到最后都坚信我是在无意识中采用了他的原则。他还觉得我对普洛克特和兰伯特也干了同样的事。他有个根深蒂固的看法，认为我连最基本的逻辑原理都不懂，甚至时常分不清三段论里的中项和结论。他打心眼里不愿承认一个数学家也能成为逻辑学家。只要他觉得我是在自说自话搞自己的那套，他就笑得前仰后合；可一旦他以为抓住了我把柄，认定我是骑在普洛克特或兰伯特的肩膀上时，话锋就变成了这样：一个连普通逻辑原则都一窍不通的人，若能靠自己达到像对手逻辑学家兰伯特和普洛克特那样崇高而精确的理论概括——且不论这些理论在实践中多么无用——那简直堪称奇迹了。 这些事在别处已经讨论得够多了，但是，先生们，请记住：我就是个傻瓜。
我明确记得，在汉密尔顿指控我抄袭兰伯特的所有文章都已发表之后，我才第一次读到兰伯特的着作；而他本人，虽然几乎无所不读，却是在我之后才知道这本书的。关于我何时了解兰伯特，我虽无法自证，但说不定哪天就能找到证据。这不，偶然翻出一封旧信，我就找到了证明自己清白的证据——关于普洛克特的部分。
汉密尔顿认为我（无意识地）从普洛克特那里借鉴了一个逻辑记法的想法，即结论的符号可以直接从前提的联合符号中看出来。比如，用我自己的方式写下 ( . ) ( . ) 这两个前提符号。通过这些符号，我能看出存在有效结论，并且可以通过删去中间的两个括号得到 ( . . )，再把两个否定点解读为肯定，从而写出结论符号。这样，我从 ( . ) ( . ) 就能看出 ( ) 是结论。完整来说，这相当于认识到所有东西要么是x要么是Y所有东西要么是Y要么是Z必然推出有些x是Z。
而在普洛克特1763年的书里，确实写着：删去前提中的中项；剩下的部分即指示结论。 在我解释自己符号（这些符号与普洛克特的完全不同）的论文里，也有一句：擦除中项的符号；剩下的符号显示出推论。 这两者确实非常相似。如果汉密尔顿当时能公正地给出他引文在书中的具体出处，我本可以原谅他的怀疑。因为我在《形式逻辑》一书中已经说明了我使用的是普洛克特书的哪一部分。一个公正的辩论者，要么应该通过证明我确实读了他引用的部分来加强他的论点，要么就应该承认，既然没有证据表明我见过书的那个部分，这对我是有利的。我的这位好朋友，虽然为人诚实，但在论战中有时却不愿给予对手应有的公正。
回到正题。我读过的唯一一本普洛克特的着作，是我的朋友洛根博士借给我的，我经常和他通信讨论逻辑等问题。我偶然（在1865年）翻出了他（在1847年9月12日）寄书给我时附上的信。信中有这样一段：我祝贺你在逻辑研究上取得的成功（意思是我在向他索要这本书时，描述过我的一些研究成果）。自从读了你的第一篇论文，我就确信发明一种逻辑符号是可能的，这种符号能将推理的依据包含在符号本身之中，尽管我从未尝试去验证它（那么，我当时与他交流的内容，已经让他确信我完成并告知了他，他根据我之前的论文所怀疑是可行的东西）。我寄给你普洛克特的论文……
既然事情已经很清楚，我绝非吃不到葡萄说葡萄酸，那么我要说些从未公开发表过的话：通过擦除前提符号来推出结论符号这件事，根本毫无价值可言——在任何能够用符号表示数量的逻辑体系里，这根本是理所当然会自动实现的功能。因为除了亚里士多德学派那个别扭的布拉曼提普式推理外，所有三段论的结论其实不用符号单凭这种方法就已经一目了然。这个布拉曼提普式破坏了亚里士多德体系的完整性，而我也曾指出某些情况同样破坏了汉密尔顿自身体系的一致性。但在我称为实名式的亚里士多德体系扩展中，以及在我称为范例式的汉密尔顿体系修正中，擦除规则是普遍适用的，甚至不需要符号也能看清。
我们第一次论战发生在1846年。到了1847年，我在《形式逻辑》中对他还以颜色，同样用了点讽刺手法——正如我声明的，这只是为了证明只要我愿意，同样能运用嘲弄的笔法。结果他对包含这些内容的附录大为光火，甚至拒绝接受我寄赠的书，直接退了回来。论战对手间互赠作品本就不是寻常意义的：能气得他忘了这条规矩，倒算是我一个明显的胜利。不过这事还是产生了影响：在他余生里，我都尽量避免再去刺激他，因为我实在担心情绪激动可能会引发严重后果。
我放任他在《讨论集》里对我的那篇猛烈抨击逍遥法外，未作回应。更早之前，当他提议在《雅典娜神殿》杂志上就我的第二篇剑桥论文展开论战时，我也只是将争端推迟到《形式逻辑》再版时再处理。我不指望《讨论集》里那篇东西能让无关的读者像我读得那么津津有味：但若想见识什么叫短兵相接、全力以赴、你死我活、激烈无比的攻讦，我特别推荐大家去读读看。在读到它之前，我从不知道原来享受针对自己的雷霆猛攻竟如此痛快——尤其当这攻击出自大师手笔，带着淋漓的傲慢，仿佛我的守护神在他耳边低语：要这样打击他，让他感觉自己濒临死亡。自那以后，我就如那个爱尔兰人所说，因缺少鞭挞而日渐干瘪。虽然我的几位质疑者已竭尽全力，但他们的攻击不过是廉价的劣酒——正如彼得·皮布尔斯说的淡而无味。英雄该饮白兰地！我期盼有一两位书评人能对我发发慈悲，给我来场斯特拉福德当年想给汉普登那派人实施的严格训练——他曾说：他们应该深深感激任何愿意在这方面对他们下功夫的人。若有谁能这样我，我必将同样感激——当然，这仅限于文学与期刊范畴；我肉体的脸皮，可和邻居们一样薄。