2109. 格雷戈里·圣文森特是最厉害的化圆为方研究者，他的研究让他发现了很多真理：他找到了双曲线弧的性质，后来纳皮尔的对数也因此被称为双曲对数。蒙图克拉提到他时，说得既巧妙又实在：从来没有人能凭着这么高的天赋去研究化圆为方，而且除了他的主要目标没实现，其他方面的成就都这么大。——德·摩根，A. 《悖论集锦》（伦敦，1872），第70页。
格雷戈里·圣文森特，乃最杰出之化圆为方研究者，其研究使他发现诸多真理：他找到双曲线弧之性质，后纳皮尔对数因此被称为双曲对数。蒙图克拉言及他，语带巧妙而实在：从未有人凭如此高天赋研化圆为方，且除主要目标未达，其他方面成就斐然。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十页。
2110. 我学到几何的时候，知道了有一个命题，几百年来人们一直在找它的证明方法，我就忍不住想试试自己能不能找到。要是我承认直到现在还坚信自己成功了，你大概会觉得我很傻吧。——波尔查诺，伯纳德。《自传》（维也纳，1875），第19页。
吾学几何时，知有一命题，数百年间人皆求其证明，吾不禁欲试己能。若吾坦言至今仍信己成功，君或谓吾愚也。——波尔查诺，伯纳德。
《自传》（维也纳，1875），十九页。
2111. 《平行线理论》
众所周知，要完善这一理论，只需证明以下命题，而欧几里得将其作为公理假定：
命题：若两条直线Ec和db与第三条直线cp所形成的内角EcF和dbc之和小于两个直角，则这两条直线若充分延长，必将相交。
[插图：一幅用于辅助证明的平行线和相交线几何图]
证明：作pcA等于cbd的补角pbd，再作EcF、FcG等角，每一个都等于AcE，这样AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，依此类推。那么，无论角AcE有多小，总存在某个数n，使得n·AcE=Ach等于或大于Acp。
再者，取bI、IL等线段，每一段都等于cb，并作IK、Lm等与bd平行，那么图形Acbd、dbIK、KILm等都是全等的，且AcIK=2·Abcd，AcLm=3·Acbd，依此类推。
取AcNo=n·Acbd，其中n与表达式Ach=n·AcE中的n取值相同，那么AcNo必然小于Acp，因为AcNo必须加上oNp才能等于Acp。由此可知，AcNo也小于Ach，取两者的n分之一，可得Acbd小于AcE。
但如果AcE大于Acbd，那么cE和bd必定相交，因为否则的话，AcE就会是Acbd的一部分。
——《数学杂志》，第2卷（1834年），第198页
《平行线论》
盖欲完此论，唯证一义足矣，欧几里得尝以之为公理：
题曰：两线Ec、db与第三线cp所成内角EcF、dbc，其和若小于二直角，则两线延长之，必相交。
[图注：绘平行线与相交线，以辅证]
证曰：作pcA等于cbd之补角pbd，复作EcF、FcG诸角，各等于AcE，使AcF=2·AcE，AcG=3·AcE，余类推。然则无论AcE多微，必有数n，使n·AcE=Ach，或等于Acp，或大于之。
又取bI、IL诸段，各等于cb，作IK、Lm平行于bd，则形Acbd、dbIK、KILm皆全等，且AcIK=2·Abcd，AcLm=3·Acbd，余类推。
取AcNo=n·Acbd，n与Ach=n·AcE之n同，则AcNo必小于Acp，因AcNo必加oNp乃等于Acp。由此知AcNo亦小于Ach，取其n分之一，则Acbd小于AcE。
若AcE大于Acbd，则cE与bd必相交，否则AcE将为Acbd之一部。
——《算学杂志》二卷（1834年），百九十八页
2112. 你确定用欧几里得的方法无法三等分角吗？我不必为尝试此事白费哪怕一小时而懊悔，但我觉得，我们认为这件事做不到，更多是一种直觉、一种感觉，而非有确凿的证明。不过，一个世纪前，高斯用直尺和圆规作出正十七边形，在当时看来，不也几乎是不可能的吗？——汉密尔顿，w. R.
《致德·摩根的信》（1852年）
子果信欧几里得法不能三分角乎？吾未尝以试此而悔掷寸阴，然觉世人谓其不可，多出于直觉，非有确证。昔高斯以规尺作十七边正形，百年前视之，不亦类于不可能乎？——哈密尔顿《与德摩根书》（1852年）
2113. 这些几何悖论案例中，有一个颇为奇特：弗吉尼亚大学的一名学生（我不确定是不是毕业生）声称，几何学家们假定直线没有厚度是错误的。他基于自己的观点出版了一本学校几何学教材，还得到了纽约一位知名教育官员的认可，并且凭借这一点，这本书差点就被纽约的公立学校采纳为教科书。
——纽康姆，西蒙《天文学家回忆录》（波士顿与纽约，1903年），第388页
几何悖论中，有一事甚奇：弗吉尼亚大学一士（未知是否及第），谓几何家假定直线无厚为谬。遂据己说撰《几何学》，得纽约名学官之许，几为纽约官学所采。
——纽康姆《星历家忆录》（波士顿、纽约，1903年），三百八十八页
2114. 直线和圆最显着的区别是什么，又是什么让它们在初等几何中得以明确区分？是它们的自相似性。直线的每一寸都与其他任何一寸重合，圆的每一段弧都与同圆的其他任何一段弧重合。那么，欧几里得的不足在哪里呢？在于他没有引入具有同样性质的第三种曲线——螺旋线。直线、圆、螺旋线——它们分别代表平移、旋转以及两者的结合——本应成为几何学的工具。要是有了螺旋线，我们就绝不会听说三等分角、化圆为方等问题是不可能的了。——德·摩根，A.引自格雷夫斯《w. R. 汉密尔顿爵士生平》第3卷（纽约，1889年），第342页
直线与圆，何者最别？何以于初等几何中分判明晰？盖其自相似也。直线寸寸相契，圆孤段段相合。欧几里得之阙，在未引入第三类曲线——螺线，其性亦同。直线、圆、螺线，各表平移、旋转及二者之合，当为几何之器。若有螺线，必不闻三分角、化圆为方等事之不可也。——德摩根引自《哈密尔顿爵士传》三卷（纽约，1889年），三百四十二页
2115. 唯有疯狂的数学不受束缚，
它太过癫狂，世俗的锁链无法将其捆绑，
时而凝视纯粹的空间，欣喜若狂，
时而绕着圆奔跑，却以为找到了方形。
——蒲柏，亚历山大《愚人志》，第4卷，第31-34行
唯狂算不羁，
疯甚难羁以俗链，
时凝太空目狂喜，
旋绕圆周谓得方。
——蒲柏《愚士篇》四卷，31-34句
2116. 或者，这是不是一个刁钻的想法，想借此获得优势，
让务实的灵魂保持活跃，
就像那珍贵的化学粉末，或是令人困惑的化圆为方问题？
——夸尔斯，菲利普引自德·摩根《悖论集锦》（伦敦，1872年），第436页
抑或此乃狡计，欲求一长，
使务实之魂常醒，
如彼奇药，或惑人之化圆为方欤？
——夸尔斯引自《悖论汇编》（伦敦，1872年），四百三十六页
2117. 就像那几何学家，费尽心力
想要测量圆，却一无所获，
思索着他所需要的原理。
——但丁
——《天堂》，第33篇，第122-125行
[就像那位老练的几何学家，
他试图化圆为方，却苦于没有
能指引他前行的法则。[12]]
——引自弗兰克兰《欧几里得的故事》（伦敦，1902年），第101页
[12] 关于这几行诗的另一种译本，见1858条。
如彼几何家，殚精竭虑
欲量圆体，终无所获，
苦思其所需之理。
——但丁《天境》三十三章，122-125句
[犹彼老几何，
欲化圆为方，而无术以导其行。[12]]
——引自《欧几里得传》（伦敦，1902年），百一页
[12] 此数句另译见1858条
2118. 在数学方面，他比第谷·布拉赫或埃拉·佩特都要高明：
因为他能用几何尺度，
量出酒罐的大小；
用符号和正切，直接算出
面包或黄油是否缺斤少两；
还能用代数，巧妙地说出
一天中时钟敲响的时刻。
——巴特勒，塞缪尔《休迪布拉斯》，第一部分，第一章，第119-126行
其于算学，胜
第谷、埃拉多也：
以几何尺度，
可量酒瓮之容；
用符号正切，直算
面包、黄油之亏盈；
又以代数，巧言
钟鸣之时。
——巴特勒《胡迪布拉斯》一卷一章，119-126句
2119. 我常常感到惊讶，数学作为真理的精髓，仰慕者竟如此之少，且热情淡薄。经过反复思考和细致探究，我终于找到了原因：尽管理性得到了满足，想象力却备受冷落；当理性在它专属的乐园中尽情享受时，想象力却在枯燥的沙漠中疲惫跋涉。——柯勒律治，塞缪尔《一个数学问题》
吾常怪算学为真理之菁华，而好之者寡且淡。深思细究，方知其故：盖理虽得飨，而象却受饿；理游于其乐园，象疲于其荒漠也。——柯勒律治
《一算题》
2120. 最后我们走进宫殿，来到觐见厅，只见国王端坐在宝座上，两旁侍立着达官显贵。宝座前的大桌上摆满了地球仪、天球仪和各种各样的数学仪器。尽管我们进来时，宫中侍从纷纷避让，动静不小，但国王丝毫没有留意我们。他当时正埋头演算一道难题，我们等了一个小时，他才解出来。国王身边各站着一个年轻侍从，手里拿着拍子。看到国王有空了，一个侍从轻轻拍了拍他的嘴，另一个拍了拍他的右耳。国王像突然惊醒似的吓了一跳，目光转向我和同行的人，才想起我们来的缘由——他之前已经听说了。他说了几句话，立刻就有一个拿着拍子的年轻人走到我身边，轻轻拍了拍我的右耳。我赶紧使劲摆手，表示自己不需要这玩意儿。后来我才发现，这让国王和整个宫廷对我的智力评价很低。我猜国王问了我几个问题，我也用自己会的所有语言跟他打招呼。发现彼此语言不通后，按照国王的吩咐，我被带到宫里的一间住处（这位君主在款待异乡人方面，比他的历任先王都要周到），还派了两个仆人照顾我。晚餐送来了，有四位贵族陪我一起吃。饭菜分两道，每道又各分三道菜。第一道里，有一块切成等边三角形的羊肩肉，一块切成菱形的牛肉，还有一个做成摆线形状的布丁。第二道是两只捆成小提琴形状的鸭子，像长笛和双簧管的香肠和布丁，还有一块做成竖琴形状的牛胸肉。仆人们把面包切成圆锥体、圆柱体、平行四边形和其他几种几何图形。——乔纳森·斯威夫特
——《格列佛游记；勒皮他游记》第二章
终入宫殿，至觐见之所，见王坐于宝座，两侧皆贵近之臣。座前大几，罗列地球、天球及诸般算器。吾辈入时，宫人居士纷然避让，声息颇着，然王竟未之顾。盖其时王方潜心一难题，吾辈侍立逾时，乃得解。王侧各有一少年侍从，手持拍板。及王稍闲，一侍轻拍其口，一侍轻拍其右耳。王骤惊，如梦中醒，顾吾与同行者，始忆吾辈来意——其先已闻之矣。王言数语，即有持板少年至吾侧，轻拍吾右耳。吾亟摇手示意，不需此物。后乃知，此举令王及满朝皆轻吾智。度王所问，吾以所知诸语对之，终莫能通。王遂命吾居宫中一室（此王待客之礼，逾于先代），且遣二仆侍之。晚餐至，有四贵臣陪食。食分两俎，每俎三馔。首俎：羊肩肉切为等边三角，牛肉为菱形，布丁作摆线形。次俎：双鸭捆为提琴状，香肠、布丁类长笛、双簧管，牛胸肉则为竖琴形。仆辈切面包为圆锥、圆柱、平行四边形及诸般几何之形。——斯威夫特《格列佛游记·勒皮他游记》第二章