2038. 超空间这一伟大概括，使得用简洁、形象、富有艺术性且引人入胜的几何语言来丰富、活跃和美化分析成为可能。另一方面，超空间本身就是极其有趣且取之不尽的研究领域。几何学家不仅能从超空间中找到启发，去揭示普通直观空间中那些原本未知的、隐秘的性质，还能在其中发现普通空间里全然不存在的奇妙结构……正是通过创造超空间，理性精神得以摆脱束缚。在超空间里，理性精神永远快乐地存在着，被一种无尽的自由感所支撑。——凯泽，c.J.
出自《数学的解放》；《一元论者》，第16卷（1906），第83页。
超空间之伟大概括，能以几何之简、形、雅、趣之语，丰、活、美分析之学。且超空间自身，亦为极有趣味、探之不尽之研究场。几何学者不仅能于其中得启示，以明寻常直观空间中未知之隐质，更能发现寻常空间所无之奇构……盖创超空间，理性得脱束缚。于其间，理性常乐，得无限自由之感所养。——凯泽·c.J.《数学解放论》；《一元论者》第十六卷（1906），八十三页。
2039. 那些长期致力于四维空间形式理论研究的数学家，似乎逐渐具备了轻松想象这种形式的能力，就像我们所有人都熟悉三维形式一样。——奥斯特瓦尔德，w.出自《自然哲学》[塞尔策译]（纽约，1910），第77页。
久研四维空间形式之数学家，似渐能轻松构想其形，一如众人熟三维之形也。——奥斯特瓦尔德·w.
《自然哲学》[塞尔策译]（纽约，1910），七十七页。
2040.福克斯：那我到底该学些什么呢？
梅菲斯特：你可以试试学“解析几何”。
在解析几何里，空间会被好好规范，
用坐标紧紧约束，
这样你就不会靠运气，
随便从图形里得到点什么。
接下来，你会花好几天时间学习，
那些你原本能在空间里自由构建出来的东西，
其实需要一个方程才行。
为了提升人类，
三维空间的直观认识是存在的，
让人们能看到周围发生的事，
并构建出各种图形——
可分析学家一登场，
就证明事情完全可以是另一种样子。
写在纸上的那些方程，
也应该能在空间里被看到；
要是构建不出来，
就得换种方式定义。
因为按照数字法则形成的东西，
也该在几何上让我们觉得愉悦。
所以，在那两个无限遥远的
虚点上，所有的圆
都必须完美地相交，
平行线也得相交，
而且在空间里，人们还能
感受到各种各样的曲率。
这些公式既真实又美妙，
为什么不能去解读它们呢？
各地的学生都在称赞，
直线居然变成了曲线。
几何学把这叫做“非欧几里得”，
自我调侃，却不知为何。
福克斯：我还是不太明白。
梅菲斯特：哲学家也会有同样的感觉。
不过要是你学会把一切简化，
并好好地进行变换，
直到公式失去意义，
那你就算学会用数学进行思辨了。
——拉斯维茨，库尔特
出自《浮士德悲剧（的）下一部分》；《数学与自然科学教育杂志》，第14卷（1888），第316页。
福克斯：吾究竟当学何者？
梅菲斯特：可试学“解析几何”。
解析几何中，空间皆循规矩，
以坐标约束，
使汝不致侥幸，
妄自从图形得些许。
继而，多日研学，
知昔日可于空间自由构建者，
实需方程辅助。
三维空间之直观，本为启迪人类，
使见周遭诸事，
并构诸形——
然分析家至，
则证其事另有所然。
纸上之方程，
亦当可见于空间；
若构之不得，
则另辟定义之途。
盖依数律而成者，
亦当于几何上悦人。
故于二无限远之虚点，
诸圆必完美相交，
平行线亦相交，
于空间中，人亦可感种种曲率。
公式既真且美，
何不可解？
四方学子皆赞，
直线竟成曲线。
几何名之“非欧几里得”，
自嘲而不知其故。
福克斯：吾仍未甚解。
梅菲斯特：哲学家亦然。
若汝学尽简化万物，
善为变换，
至公式失其义，
则可谓善用数学思辨矣。
——库尔特·拉斯维茨
《浮士德悲剧续篇》；《数理自然教育杂志》第十四卷（1888），三百一十六页。
第二十一章 悖论与奇谈
2101. 伪数学家对待数学的态度，就像猴子摆弄剃刀。那畜生看见主人刮胡子，自己也学着刮，可它根本不知道该以什么角度握剃刀，结果割破了自己的喉咙。可怜的畜生，再也没敢试第二次！但伪数学家却一直不停地做着这种事，还宣称自己已经“剃得干干净净”，反说世上其他人都“毛发浓密”。
“书呆子数学家”指的是那种不懂数学，却偏要去描述数学家的人。小说家们常这么做：就连沃尔特·司各特也时不时会因此碰壁。他笔下那个爱空想的计算者戴维·拉姆齐，还“以不朽的纳皮尔的骨头起誓”。司各特觉得数学爱好者们是在崇拜圣物——从某种意义上来说，确实是这样。——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第473页。
伪算者治算，犹猿猴操剃刀。彼兽见主剃须，亦仿为之，然不知握刀之度，竟割其喉。可怜此兽，终不再试！而伪算者孜孜不已，自谓净刮，反指世人皆毛茸茸也。
书算者，乃不谙算学，偏欲状算家之人。小说家多有此举：即沃尔特·司各特，亦尝因此受挫。其笔下耽于空想之算士戴维·拉姆齐，竟“以不朽纳皮尔之骨为誓”。司各特谓算学爱好者崇圣物——从其一端观之，诚然。——德·摩根，A.
《悖论汇编》（伦敦，1872），四百七十三页。
2102. 证明这件事，需要有能给出证明的人，也需要有能理解证明的人……
有个盲人说：“至于太阳，我以圣经起誓，根本就没有这东西；要是有的话，早就该有人指给我看了。”
他怎么会蠢到这种地步？难道不知道自己看不见吗？
他才不知道呢。——德·摩根，A.
《悖论集锦》（伦敦，1872），第262页。
证明之道，需有能授者，亦需有能受者……
有瞽者言：“至于日，吾以圣经为誓，实无此物；若有之，早当示我矣。”
彼何以愚至此？岂不知己目盲乎？
彼实不知也。——德·摩根，A.
《悖论汇编》（伦敦，1872），二百六十二页。
2103. 数学研究中藏着无数珍宝，可我们的研究却常常一无所获：因为这领域里总有些“鬼火”——那些虚幻的幻影，在眼前晃来晃去，看起来美妙极了，几乎就在手边，仿佛再往前一步，就能把这宝贝拿到手！可悲的是，要是有人被这种幻影引偏了方向，放弃了真正的研究，沉醉在幻影那嘲弄般的笑声里，把一生的精力都浪费在这场徒劳的追逐上——那真是太可惜了！——道奇森，c.L.
《新平行理论》（伦敦，1895），引言。
算学之研，藏珍无尽，然吾辈求索，常空手而返：盖因其中多“鬼火”——虚妄幻影，晃于眼前，看似佳妙，几在掌握，似再进寸步，便可撷取！可悲者，若为幻影所惑，偏离正途，沉于其嘲笑声中，虚掷毕生精力于徒劳之逐——诚可叹也！——道奇森，c.L.
《新平行论》（伦敦，1895），引言。
2104. 就像闪电能驱散空中无形的水汽，尖锐的悖论也能把人类的智慧从那些潜藏着却没被察觉的假设所带来的呆滞影响中解放出来。悖论是偏见的杀手。——西尔维斯特，J.J.
《论女士的扇子等》，《数学论文集》第三卷，第36页。
犹闪电涤空中无形之氛，锐悖论亦能解人类智识于潜藏未觉之臆断的沉滞影响中。悖论者，偏见之克星也。——西尔维斯特，J.J.
《论女士之扇等》，《算学文集》第三卷，三十六页。
2105. 当一个搞悖论的人炫耀着大写字母和图表——在那些什么都不懂的人看来，这些和牛顿的成果没两样——有人就会纳闷，为什么科学界不站出来把这事儿彻底批倒。原因很简单：所有能看懂反驳内容的人，本来就心里有数，要是愿意，自己就能识破这个搞悖论的人；而那些看不懂的人，也分不清正确的答案和那个搞悖论的人新弄出来的大写字母、图表——这家伙会得意地宣称是自己把那些学者驳倒了，而不是自己被驳倒。——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第484页。
当悖论家炫其大写字母与图表——在无知者眼中，与牛顿之作无异——或人疑惑，何以学界不起而批驳。盖因：凡能读懂驳斥之文者，本就了然，若愿，自能识破；而不能识者，亦分不清真知与悖论家新弄之大写字母、图表——彼辈会欣然宣称，是己击溃哲人，非哲人击溃己。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），四百八十四页。
2106. 论证的理性从不喊“教会有危险！”，它的“异端词典”里只有《悖论集锦》。那些错误的主张，就交给时间和遗忘去处理吧，所有不持这种主张的人都认可这一点：没必要接二连三地去揭露。时间会用它那熟练的方式把这事解决好。——德·摩根，A.
《悖论集锦》（伦敦，1872），第485页。
论证之理性，从不呼“教会危矣！”，其异端名录，唯《悖论汇编》。错谬之论，自有时间与遗忘处置，众无争议者皆认可：无需接连曝光。时间自会以其娴熟之法了结此事。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），四百八十五页。
2107. 迪斯雷利提到过“科学的六大蠢事”——化圆为方、倍立方体、永动机、点金石、巫术和占星术。他其实还可以加上三等分角，凑成神秘的数字“七”；可就算加上了，也还是太宽容了：从数学到化学，整个科学领域里竟然只有七件蠢事！科学面对这样的评判，大概会像过去那些本以为要判终身监禁，结果只判了七年的犯人那样说：“谢谢您，法官大人，愿您一直坐在这位置上，直到我的刑期结束”——愿《文学奇闻》能比《科学的蠢事》存在得更久！——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第71页。
迪斯雷利言“科学六愚”——化圆为方、倍立方体、永动机、点金石、巫术、占星术。彼若加三等分角，凑成神秘之七，亦无不可；然即便如此，仍属宽容：从算学到化学，全体科学竟仅七愚！科学面对此评，或如昔年囚徒本以为判终身监禁，结果仅七年，遂言：“谢大人，愿您久坐此位，直至吾刑满”——愿《文学奇闻》能比《科学之愚》久存！——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十一页。
2108. 蒙图克拉在说法国的时候提到，他发现那些研究化圆为方的人心里普遍有三个想法：1. 成功了会有重奖；2. 经度问题的解决取决于这件事的成功；3. 这个解法是几何学的终极目标。英国的同类人里，这三个想法也同样流行。可这两个国家的政府从来没设过什么奖励；经度问题和这个完美解法一点儿关系都没有，现有的近似值已经精确到远超实际需要了；而几何学早就满足于已有的成果，转向其他研究了。有时候，研究化圆为方的人会说服一个误登了其他地方的船长，说天文学家出错了，因为他们用了错误的圆周度量方法，而船长还觉得这解释挺不错！这就是这个问题和经度之间最大的关联了。——德·摩根，A.《悖论集锦》（伦敦，1872），第96页。
蒙图克拉言法国时，发现研化圆为方者多有三念：一曰成功有重赏；二曰经度问题取决于此；三曰此解乃几何学之终极目标。英国同类人中，此三念亦盛行。然两国政府从未设赏；经度问题与此完美解法无关，现有近似值已精确远超所需；而几何学早已满足于已有成果，转向他事。有时，研化圆为方者会说服误登他岸之船长，谓天文学家错在圆周度量，船长竟觉此解甚妙！此即该问题与经度之最大关联。——德·摩根，A.
《悖论汇编》（伦敦，1872），九十六页。