布里丹之驴的故事
《道德问题集》，对开本，1489年[巴黎]。作者：t. 布里丹。
这是出自哈特韦尔法律书籍目录的标题。我推测它就是别处提及的1489年版《亚里士多德〈尼各马可伦理学〉评注》[13]。布里丹[14]（约1358年逝世）正是那头着名的“驴”的创造者——在勃艮第地区，这头驴曾以“布尔丹之驴”[15]的名字流传，或许至今仍是一句通俗谚语。斯宾诺莎[16]称那是一头母驴，并认为人类不会如此愚蠢；但这究竟是在夸赞人类，还是在夸赞男性特质，不得而知——或许两者都有所指。
关于这个着名悖论的传闻颇为离奇。法国王后让娜（Joanna或Jeanne）有个习惯：将她的情人缝进麻袋，再扔进塞纳河。这并非因情人泄密而惩罚，而是为了防止他们泄密——无疑是更保险的做法。布里丹却得以豁免，为表感激，他创造了这个诡辩。但这一诡辩与豁免之事有何关联，始终无人能解。诚然，“借他人之手行事，等同于亲自行事”这一原则，定会判定布里丹在胡言乱语。
其论证如下，且完整版鲜少被提及。布里丹主张自由意志，即即便动机完全平衡，意志仍能决定行为。一头驴因饥饿与干渴受到同等程度的驱使，一侧是一捆干草，另一侧是一桶水。你定会说，它总不至于蠢到因缺食少水而死；那么它终将做出选择——也就是说，意志能在同等效力的选项间做出抉择。这个问题在经院哲学中声名远扬：有人认为这头可怜的驴会因犹豫不决而死；有人则否认这种动机平衡的可能性，但这根本算不上答案。
迈克尔·斯科特的魔鬼
下面这个问题更难，且对所有回答“任你选”的人而言，都涉及自由意志问题：若北半球全是陆地，南半球全是水域，我们应称北半球为岛屿，还是称南半球为湖泊？
这两个问题都很适合给悖论研究者当练习——他们必须有事可做，就像迈克尔·斯科特[17]的魔鬼那样。这位巫师[39]不懂化圆为方等难题，便让魔鬼们用海沙搓绳子，这可把它们难住了。这群愚蠢的魔鬼！我们所用的玻璃，大多源自海沙，而海沙能制成漂亮的玻璃丝。要是迈克尔让它们去化圆为方，或是寻找永动机，那他的安排就高明多了。但这一切都只是猜测：谁能断定我没猜中他当时采用的正是这个办法呢？或许所有钻研无望难题的悖论研究者，都是迈克尔的下属，被罚一次次转世，直到完成任务为止。
这猜测倒不算离谱。在着名的帕斯卡手稿[18]问世后不久，我得到了一批书信。若不是有这些帕斯卡手稿佐证，我定会觉得这批书信太过离奇，无法公之于世。但正所谓“一羊过沟，众羊跟从”，于是我在1867年10月5日的《雅典报》上发表了如下记述：
“记载的故事是，迈克尔·斯科特曾因契约所迫，要为一群年轻魔鬼提供永无止境的活计。他为给它们发明差事耗尽心力，直到最后让它们用海沙搓绳子——这活儿它们永远也干不成。我们得到了巫师迈克尔与其魔鬼仆从之间的一批离奇书信，但不便透露其来源。很遗憾，我们未能及时将其呈给英国科学促进会。从书信来看，这个故事虽有几分真实性，却从未有过结局。
魔鬼们轻易就攻克了搓绳子的难题：只需把沙子制成玻璃，再将玻璃抽成丝，然后拧成绳子就行。迈克尔大为沮丧，随即想出新招：让一部分魔鬼去化圆为方，另一部分去寻找永动机，等等。他命令每个魔鬼都要在人类躯体中不断转世，直到完成任务。这就解释了为何历代都有化圆为方者，以及本集锦中所有相关人物的由来。
这批书信中有些是近期的，字迹多处模糊，我们尚不能完全确知其意：信中满是比喻，提到要把某个难以辨认的东西推下陡坡、坠入海中。这看似是魔鬼们卑微的请愿，希望能在转世间隙获得些许消遣，而回复是——
Rumpat et serpens iter institutum，[19]
（破釜沉舟，持之以恒。）
——这是贺拉斯的诗句，魔鬼们将其解读为：要通过狡猾的伎俩干扰学会的议事进程。在看到这些之前，我们一直对利布里先生[20]心存疑虑：书信中那些始终如一的谬误，看起来不像是无知所致。总能偏离正轨，往往需要先掌握“正轨”在哪；真正的无知，反倒偶尔会撞上真理。我们曾猜测，利布里先生或许是故意设局，想证明法国人有多容易受骗；但有了目前这些信息，我们对此事便释然了。我们注意到沙勒先生不愿承认其信息的真正来源：他不会坦白自己是个唯灵论者。”
加达拉的斐洛
蒙图克拉[22]依据阿基米德注释者欧托基奥斯[23]的记载称，加达拉的斐洛[21]将化圆为方的精度计算到了“万分之一”单位，即小数点后“四”位。某部现代古典词典则称，斐洛将其计算到了小数点后“一万”位。拉克鲁瓦在评注蒙图克拉时指出，此处的“myriad”（希腊语意为“一万”）和我们如今的用法一样，是模糊地指代“极大的数量”。
查阅欧托基奥斯的原文后，我发现其中根本没有明确提及斐洛的计算精度到底有多高。以下是该段落的译文：
“我们应当知晓，佩尔加的阿波罗尼奥斯在其《ocytocium》（此书已佚）中，用其他数值证明了同一结论，且精度更高，这似乎更为准确，但与阿基米德并无关联；因为如前所述，阿基米德的目标只是达到满足生活所需的精度即可。尼西亚的波鲁斯也不公，他指责阿基米德未能给出与圆周精确相等的线段。他在《凯里篇》中称，其导师加达拉的斐洛给出的近似值（[希腊语：eis akribesterous arithmous agagein]）比阿基米德的更精确，也优于7比22的比例。但这些人（包括斐洛在内的其他人）都误解了阿基米德的意图。他们用‘数以万计’的数值来乘除运算，若非精通马格努斯（此人现已不为人知）的对数术（分数计算法），没人能轻易完成。”
蒙图克拉或其信息来源本不该犯这个错。他曾查阅希腊文文献，以订正常被称作“加达拉的斐洛”的斐洛，并摘录引用了“来自加达拉”。倘若他再多读两句，便能发现这个谬误。
在此，我们发现了一位此前未被现代人注意到的人物——算术家马格努斯。这个表述带有讽刺意味，就好比我们会说“要做到这个，得精通科克算术”[24]一样。因此，马格努斯、巴韦梅[25]和科克，是三位算术领域的人格化象征，或许还有更多。
[19] 拉丁语诗句，出自贺拉斯《讽刺诗集》，字面意为“蛇也会扰乱既定的行程”。
[24] 科克（cocker）指爱德华·科克，其算术着作在17至19世纪的英国广为流传，“精通科克”成为“擅长算术”的代称。
论化圆为方
亚里士多德在探讨关系范畴时，否认化圆为方已被实现，但似乎认为它是可完成的。波爱修斯[26]在对此段落的评注中称，亚里士多德之后，化圆为方已被实现，只是证明过程过长，他不便赘述。对化圆为方问题不了解的人，可以查阅《英国百科全书》中“化圆为方”条目。
《论化圆为方》——此乃数学领域最具洞察力的坎帕努斯、叙拉古的阿基米德及波爱修斯所发明的方法。——书末标注：威尼斯，由约翰·巴普蒂斯特·塞萨出版。公元1503年8月28日。
[43] 这部着作从未在该领域的历史记载中被提及，我也未能找到任何相关记述。坎帕努斯[27]的化圆为方方法，将阿基米德[28]提出的7比22的比例视作绝对准确；书中对阿基米德的论述并非其着作的译文；而关于波爱修斯的内容，也比波爱修斯本人的着作更为丰富。在有进一步发现之前，这部着作与下一部着作应被视为该主题最早的印刷品：穆哈德[29]与卡斯纳[30]的记载中均无早于此的文献。该书由卢卡斯·高里库斯[31]编辑，并撰写了一篇简短的序言。卢卡·高里科曾任奇维塔·杜卡莱主教，是顶级占星家，这部着作出版时他约30岁，最终活到了82岁。他的着作被收录为对开本，但我不清楚其中是否包含这部作品。这个可怜人始终无法推算自己的命运，因为他的父亲忘了记录他出生的具体时与分。但倘若占星术真有其事，他本可以像亚当斯[32]与勒维耶[33]发现海王星[44]那样进行倒推：60岁时，他本可根据自己一生的经历，逐一验证出生当日的每一分钟，从而确定准确的出生时刻。之后，他便能依据占星法则进行预言了。高里库斯曾是约瑟夫·斯卡利杰[34]的数学老师，不过我们后续会看到，斯卡利杰并未给他增光。
博维勒斯论化圆为方问题
本书包含概要……及《论化圆为方》一卷……巴黎，1503年，对开本。
这位化圆为方研究者是夏尔·博维勒斯[35]，他采纳了下文即将提及的库萨的红衣主教[36]的观点。蒙图克拉对其同胞颇为严苛，称博维勒斯只因声名不显，才未沦为几何学家的笑柄。人们必须在一点上警惕多数数学史学家：他们常常将作者在“自己所处时代”的默默无闻，归咎于作者“自身所处的时代”。这部论着由亨利·斯蒂芬斯[37]在法布尔·斯塔普勒尼斯[38]的鼓动下出版[45]，德沙莱斯[39]等人对此有记载。1815年版的《哲学明珠》[40]也收录了这部作品，与维阿托的新透视法一同附于附录中。绝非极度默默无闻。其化圆为方的方法确实该遭冷落，但那是另一回事。
蒙图克拉称，博维勒斯将圆周率（π）取值为√10。但蒙图克拉引用的是1507年的《几何导论》，这部着作我从未见过[41]。他在书中发现，博维勒斯记述了一位农民劳动者的化圆为方方法，并称其与自己的方法一致。但根据描述，该方法中π的值为3又1\/8，由此可见，博维勒斯竟无法区分3又1\/8与√10。此外，这个3又1\/8——我们在后文会频繁提及——似乎源自一位贫苦劳动者善于思考的头脑。这为他赢得了极大的荣誉：该数值与真实值十分接近，且他并无任何受教育的途径。而在当今时代，若一个无知者执意用自己的臆想，去对抗那些他不愿钻研的科学证明，那么他遭到嘲笑是理所当然的。
拉科姆的化圆为方尝试
利物浦的詹姆斯·史密斯先生[42]——后文将提及此人——称，3又1\/8这一圆周率数值的首次公开者是法国掘井工约瑟夫·拉科姆先生，并对其做出如下记述：
“1836年时，拉科姆既不会读也不会写。他建造了一个圆形蓄水池，想知道铺池底需要多少石料，于是便去请教一位数学教授。在提出问题并告知蓄水池直径后，教授的回答让他倍感惊讶：‘我无法准确告诉你答案，因为至今仍无人能精确找出圆的周长与直径之比。’[43] 这番话促使他决心尝试解决这个难题。他最初的方法纯靠机械操作，且深信自己有所发现。之后，他开始自学，成为了一名熟练的算术家，随后发现算术计算结果与他的机械实验结论相符。
多年来，他似乎仅靠教授算术勉强维持生计，同时始终努力争取让一些学术团体听取自己的见解，却屡屡失败。1855年，他辗转来到巴黎，机缘巧合下结识了警察专员温特先生的儿子。他向这位年轻人传授了自己独特的计算方法，对方深为着迷，极力向父亲推荐拉科姆。[47] 后来，经温特先生介绍，拉科姆得以结识巴黎艺术与科学学会主席。该学会成立了一个委员会，负责审查并汇报他的‘发现’。1856年3月17日的学会会议上，巴黎艺术与科学学会授予约瑟夫·拉科姆先生一等奖银牌，以表彰他发现了圆的直径与周长的真实比值。此后，他还从其他学会获得了三枚奖章。
撰写这段文字时，我眼前正放着他的肖像——他胸前佩戴着那些奖章，这幅肖像用作了一本关于这位非凡人物的短篇传记的卷首插图。这本传记承蒙一位先生惠赠，他曾有幸将我在1860年牛津英国科学促进会会议上分发的小册子译成法文并出版。”——《通讯者报》，1866年5月3日。
我的调查表明，奖章的故事并非完全不可信。巴黎有一些小型私人团体，它们声称能代表科学观点的程度，还不及我们英国的机械师协会。其中有些团体本就旨在制造虚假声望，例如“历史学会”，其成员均可自称“历史学会会员”。拉科姆先生能从这类团体手中获得四枚奖章，是极有可能的；但要说他从巴黎任何一个稍有资格颁发奖章的团体那里获得过一枚，至今仍纯属无稽之谈。