=1624= 我们早已习惯听闻算术被称作所有教育体系的三大基础要素之一，以至于追问其缘由反而显得过于深究。读、写、算术——这三者被视为此同等重要。可它们真的地位相当吗？若真是如此，依据又是什么？
在现代“三艺”中，阅读之术被置于首位。诚然，其占据首要地位无可置疑，因为阅读是我们获取一切知识的工具，是不可或缺的。生命中的每个时刻，能否阅读都对我们影响深远。而写作之术亦是如此，它是所有交流的工具，以这样或那样的形式，每日都对我们有用。但计数——做算术题——这一技能在生活中究竟有多少次能派上用场？除了最简单的加法和核对账单明细的能力，对于任何一个生活中的有识之士而言，所需的算术知识都极为有限。从实际用途来看，除非我恰巧从事商业，否则无论我在学校学过多少分数、比例或小数，在生活中的用处都远不如对本国历史的了解，或是物理学的基本常识。事实上，若将读、写、算术视为实用技艺，它们根本无权被归为同等重要的教育要素，因为对普通男女而言，算术的实用性不仅远不及前两者，也比不上许多其他可被提及的技能。但阅读、写作，以及在数字运用中获得的数学或逻辑训练，确实有资格成为教育的基本要素。我认为，算术若真配得上它在我们教育体系中传统上占据的崇高地位，主要是因为它应被视为一种逻辑训练。它是唯一进入初等和早期教育的数学分支，而纯科学的其他领域则被保留到所谓的高等教育或大学教育阶段。然而，所有支持向高年级学生教授代数和三角学的论据，同样适用于向学童教授算术的原理或理论。算术旨在为他们提供完全相同的服务，培养他们某一方面的心智，调动一套在其他任何学习领域都无法得到如此严格或恰当训练的能力。简而言之，相对于初学者的需求，算术作为一门科学，其价值与高等数学对大学生的价值相当——当然，它也同样易于理解。
——J.G. 费奇
《教学演讲》（纽约，1906 年），第 267 - 268 页
世人习闻算术为教育之三基，久若固然，叩其故似嫌过细。读、写、算三者，咸谓并重，果如是乎？其理安在？
今世“三艺”，读居其首，固其宜也。盖读为求知之器，必不可阙，毕生之中，能读与否，判若霄壤。写亦传情达意之具，日用常行，靡不资之。然计数演算，生平能用几回？除简易加法与核账单外，常人于私居所需算术之知甚隘。若论实用，除非业商，校中所习分数、比例、小数，远不逮本国史识、物理浅理。实则读、写、算若为实用之技，未可并列为教育同等要素，盖算术于常人，实用既逊于前二者，亦不及他技多矣。然读、写及由数而生之数理、逻辑训练，诚为教育之基。窃以为算术能居教育之尊位，端在其可作逻辑之训。唯算术入初等、蒙学，他科纯理则属高等或大学。然教高年生代数、三角之理，亦适用于教童算术之旨。算术能培其心智，练其官能，此他学所不能及。总之，对初学者而言，算术之为学，其值堪比高等数学之于大学生，且易懂亦然。
——J.G.费奇
《教学演讲》（纽约，1906年），页二六七至二六八
=1625= 因此，若以论证的方式教授算术，那么它能为哪怕是最普通学校的孩子带来的益处，正如同数学对大学高年级学生的预期作用。它提供推理训练，尤其是演绎推理训练。它是对思维严密性和连贯性的 discipline（训练）。它揭示谬误的本质，拒绝使用未经证实的假设。在学校学习的所有科目中，算术是唯一让怀疑和探究精神拥有最合理发挥空间的领域，在这个领域里，权威毫无意义。在其他教学科目中，你有权要求学生信任你，并期望他们基于你的证言接受许多内容，同时明白这些内容之后会得到解释和验证。但在此处，你完全有理由对学生说：“不要相信任何你无法理解的东西，不要把任何事情想当然。”简而言之，算术的恰当作用是充当逻辑的基础训练。在你们作为教师的整个工作中，要牢记“知道”和“思考”之间的根本区别，并体会到，相对于智力生活的健康而言，思考的习惯远比知道的能力，甚至远比取得可见成果的熟练度重要得多。但在此处，这一原则具有特殊意义。正是通过算术，而非学校课程中的任何其他科目，才能有效地教授连续、严密、逻辑地思考的艺术。
——J.G. 费奇
《教学演讲》（纽约，1906 年），第 292 - 293 页
故以论证法教算术，即便至陋校之童，所得益处亦如数学于大学高材。算术可训推理，尤长演绎。能练思维之密与贯。揭谬误之本，拒未证之设。校中诸科，唯算术容怀疑探究之精神，权威于此无用。他科可求学子信己，暂受所学，待后释证。然于此，则可告学子曰：“不解者勿信，无据者勿认。”总之，算术者，逻辑之初训也。为师者当明“知”与“思”之别，思之习远胜知之能，于智育尤要。而算术之要，正在此焉。 学校课程中，唯算术能教连续、缜密、逻辑之思。
——J.G.费奇
《教学演讲》（纽约，1906年），页二九二至二九三
=1626= 算术与几何，是天文学家翱翔至天国的那双翅膀。
——罗伯特·波义耳
《数学对自然哲学的用途》；《着作集》（伦敦，1772 年），第 3 卷，第 429 页
算术与几何，乃天文家翱翔九天之翼也。
——罗伯特·波义耳
《数学于自然哲学之用》；《着作集》（伦敦，1772年），卷三，页四二九
=1627= 算术符号是书写下来的图表，几何图形是形象化的公式。
——d. 希尔伯特
《数学问题》；《美国数学会通报》，第 8 卷（1902 年），第 443 页
算术符号者，书之图也；几何图形者，画之式也。
——d.希尔伯特
《数学问题》；《美国数学会通报》，卷八（1902年），页四四三
1628.算术和几何比其他科学更具确定性，因为其研究对象本身极为简单清晰，无需假定任何可能被经验质疑的东西，且二者都通过理性推导的连锁推论（从一个结论推导出另一个结论）来展开。它们也是所有科学中最容易、最明晰的，其研究对象正是我们所追求的——因为除非注意力不集中，否则几乎不可能在其中出错。不过，许多人更偏爱研究其他学科或哲学，这并不奇怪。事实上，当事物晦涩不明时，每个人都更愿意自由猜测；而即便面对最简单的问题，形成模糊概念也比探寻真相容易得多。
——笛卡尔
《思维的指导法则》；托里版《笛卡尔哲学》（纽约，1892 年），第 63 页
算术、几何较他学更具确然性，以其研对象至简至明，不须假设有碍经验之论，且皆循理性推衍之链（由一结论递及他论）以展。此二学亦为诸学中最易、最晰者，其研对象恰为吾辈所求——盖非注意力涣散，鲜有误焉。然世人多好他学或哲学，不足为奇。夫物之幽晦者，人皆乐妄加揣度；即遇至简之题，构模糊之念亦易于探求真谛也。
——笛卡尔《思维之指导法则》；见托里版《笛卡尔哲学》（纽约，1892年），第63页
1629.为何智者寥寥，愚者却多如牛毛？
因（智者）稀缺，故（愚者）泛滥无度。
——洛夫莱斯
《诺亚·布里奇斯：通俗算术》（伦敦，1659 年），第 127 页
何智者鲜少，愚者如星？以其（智者）稀，故（愚者）滥也。
——洛夫莱斯《诺亚·布里奇斯：通俗算术》（伦敦，1659年），第127页
1630.数字的每种模式彼此清晰可辨（即便最接近的模式也不例外），这让我倾向于认为：若说数字论证不比几何论证更明晰精确，至少其应用更普遍、适用更确定。因为数字概念比几何概念更精准易辨——在几何中，相等或超额关系不易观察测量，因我们对空间的认知无法抵达不可再分的“单位”级极小量，故最小超额的数值或比例也难以确定。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第 2 卷，第 16 章，第 4 节
数字诸式，彼此判然（即最相近者亦无混淆），此令吾谓：若言数字论证未较几何论证更晰更确，至少其用更广、其适更定。盖数字之概念较几何概念更精易辨——几何中，等与差之关系难察难量，以吾辈于空间之识，未及不可分之“单位”微量，故最小差之数值或比例，皆难确定。
——约翰·洛克《人类理解论》，第2卷，第16章，第4节
1631.数字阵列如同人类军队，未必总如想象中那般强大。
——m. 塞奇
《派珀夫人与心灵研究协会》[罗伯逊着]（纽约，1909 年），第 151 页
数之阵列，犹人类之师，未必尽如臆想之强。
——m.塞奇《派珀夫人与心灵研究协会》[罗伯逊着]（纽约，1909年），第151页
1632.数字诞生于迷信，在神秘主义中成长……它曾是宗教与哲学的根基，而数字的把戏至今仍对轻信者产生奇妙影响。
——F. w. 帕克
《教育学漫谈》（纽约，1894 年），第 64 页
数之始生于迷信，长于神秘之学……昔为宗教、哲学之基，今数之戏法犹对轻信者生奇妙之效。
——F.w.帕克《教育学漫谈》（纽约，1894年），第64页
1633.算术规则，亦能骗人。
——鲁德亚德·吉卜林《致真正的浪漫》
算术之规，亦能惑人。
——鲁德亚德·吉卜林《致真正的浪漫》
1634.整数乃神造，其余皆属人为。
——利奥波德·克罗内克
《德国数学家协会年报》，第 2 卷，第 19 页
整数者，神造也；其余，皆人为之。
——利奥波德·克罗内克《德国数学家协会年报》，第2卷，第19页
1635.柏拉图言：“神永恒几何”，雅可比改为“神永恒算数”。而后克罗内克创造了那句名言：“整数由神创造，其余皆属人类造物。”
——菲利克斯·克莱因
《德国数学家协会年报》，第 6 卷，第 136 页
柏拉图曰“神恒治几何”，雅可比易为“神恒治算术”。后克罗内克创名言：“整数为神造，其余皆属人造。”
——菲利克斯·克莱因《德国数学家协会年报》，第6卷，第136页
1636.整数是一切数学的源头。
——赫尔曼·闵可夫斯基
《丢番图逼近》（莱比锡，1907 年），序言
整数者，数学万流之源也。
——赫尔曼·闵可夫斯基《丢番图逼近》（莱比锡，1907年），序言
1637.《算术研究》这部伟大着作，堪称“七印之书”（注：喻深奥难解）。
——J. t. 默茨
《19 世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1908 年），第 721 页
《算术研究》此宏着，堪称“七印之书”（注：喻深奥难解）。
——J.t.默茨《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1908年），第721页
1638.可以说，现代线性置换与伴随代数的萌芽，正源于《算术研究》第五节；反之，形式代数理论的每一步进展，都是数论的增益。
——G. b. 马修斯
《数论》（剑桥，1892 年），第一部分，第 48 节
可曰：现代线性置换与伴随代数之萌芽，实肇于《算术研究》第五节；反之，形式代数理论每进一步，皆为数论之益。
——G.b.马修斯《数论》（剑桥，1892年），第一部分，第48节