709.现代函数论——这一人智纯然创造中最宏伟的成就。
——c.J.凯瑟
《科学、哲学与艺术演讲集》（纽约，1908年），第16页
近世函数之论，诚人类智巧所铸，最为庄伟之业也。
——c.J.凯瑟
《格致哲学艺术讲录》（纽约，1908年），页十六
710.若让过去的数学家，如阿基米德甚至笛卡尔，审视如今的几何学领域，最先令其震撼的特征必是其非具象性。有整类几何理论不仅无需模型与图解，甚至（看似）完全不依赖空间直觉。这主要源于分析研究工具相较纯几何方法的强大力量。
——爱德华·卡斯纳《几何学当前问题；美国数学会通报》，1905年，第285页
设使阿基米德、笛卡尔之伦，观今世几何之学，必惊其虚玄。盖今世几何诸论，不恃图式，不假直观，超然于形骸之外。此无他，析理之器精于古法，故能臻此妙境也。
——爱德华·卡斯纳《几何时务；美邦算学会刊》，1905年，页二百八十五
711.欧几里得的命题皆独立存在，从不明示与其他命题的联系，亦不阐述证明中的核心思想，更无普适原理可言。而现代方法恰恰相反，最重视贯穿整体的主导思想；相较于单独命题，更倾向于给出能将整组定理统摄于同一视角下的普适原理。整体趋势皆指向一般化。直线被视作完整存在——向两端无限延伸，而欧几里得始终谨慎，只承认有限量。事实上，对无限的处理正是两种方法的另一根本差异：欧几里得回避无限，现代数学则系统性引入无限，因唯有如此方能实现一般化。
——阿瑟·凯莱《大英百科全书》（第9版），“几何学”条目
欧氏之学，命题孤峙，不彰其联；证理之要，秘而不宣；通例大法，概乎未闻。今世之术，则重统摄之思，尚一贯之理，总群言以为宗，而非拘于一辞。其旨归在求其博。今世视直线者，向两端而无极；欧氏则谨守有限之量，未尝越雷池一步。此二者于“无穷”之辨，实古今殊致之枢要也。欧氏避之若浼，今世纳为圭臬，盖非此无以成其广。
——阿瑟·凯莱《大英百科全书》（第九版），“几何”篇
712.这正是现代几何相较古代几何的最大优势之一：通过考虑正负量，可在单一表述中涵盖定理因图形各部分相对位置变化而呈现的多种情形。例如在当代，阿波罗尼奥斯《论定截线》两卷中构成83个定理研究对象的9个主要问题及众多特殊情形，如今仅构成一个可由单一方程解决的问题。
——m.沙勒《几何学史》，第1章，第35节
今世几何胜于古者，其要一焉：以正负之术，赅定理之变。一辞之中，尽包图形异位之诸态。昔阿波罗尼奥斯《论定截线》二卷，以八十三理析九题，旁及众例；今世以一方程解之，归为一题，可谓简易而得要矣。
——m.沙勒《几何史》，首章，三十五节
713.欧几里得始终将直线视为两点间所画线段，且会谨慎说明何时将其延长至线段之外。他从未将直线视为预先作为整体存在的实体。这种谨慎的定义与限制——以排除非感官直接可察的无限——是希腊人在所有活动中的典型特征。这一特征既体现在希腊建筑与哥特建筑的差异中，也体现在希腊宗教与现代宗教的区别里。哥特式大教堂的尖顶与现代几何中无限直线的重要性，皆象征着现代世界的变革。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约，1911年），第119页
欧氏论线，必始于两点，其延也必明言。未尝以线为浑然全体。如此审慎，限定畛域，屏感官未逮之无穷，此希腊人立事之通性也。观乎希腊、哥特之构，古今宗教之异，皆可征焉。哥特教堂之尖顶，今世几何之无线，皆为世道迁变之征也。
——A.N.怀特海《算学启蒙》（纽约，1911年），页百一十九
714.古希腊的几何问题与定理总是涉及确定的、往往相当复杂的图形。如今，这类图形中的点和线可能呈现出许多不同的相对位置，古人会对每一种可能的情况分别加以考虑。相反，当代数学家会让图形相互生成，并习惯于将它们视为可变化的；通过这种方式，他们借助负量和虚量将各种情况尽可能地结合统一。例如，阿波罗尼奥斯在其《论比例截线》两卷中探讨的问题，如今用一种普遍适用的构造方法就能解决；而阿波罗尼奥斯则将其分成八十多种仅因位置不同而变化的情况。正如赫尔曼·汉克尔恰切指出的，古代几何为了表面的简单性，牺牲了原理统一的真正简单性；它以承认几何形式在所有变化和感官可呈现位置中的关系为代价，换来了琐碎的感官可呈现性。
——特奥多尔·赖耶
《古今综合几何；德国数学家协会年报》，第2卷，第346-347页
古希腊几何命题，常关乎具体图形，甚者构造繁复。图中诸点线，位置变化多端，古人必逐一分疏。今世算家则不然，善使图形相生相变，以变量视之，更借正负、虚数之法，汇诸例为一统。如阿波罗尼奥斯《论比例截线》两卷所论之题，今世以一法通解；而古人则析为八十余例，仅因位置差异便各自为论。诚如赫尔曼·汉克尔所言：古之几何，为求表面简明，反失原理统一之真简；宁取感官可察之浅近表象，而弃几何形相变易之深层关联——虽其位可辨于目，然其理未通于神。
——特奥多尔·赖耶《古今综合几何论；德意志算家协会年报》，第2卷，第346-347页
715.众所周知，中学规定的数学本质上是欧几里得式的，而让我们深入理解自然机制和规律的，是现代数学、函数论和微积分。欧几里得数学确实是函数论的前提，但就像一个人虽然学了拉丁语名词和动词的屈折变化，却未必能读懂拉丁作家的作品，更不用说欣赏贺拉斯的妙处一样，欧几里得数学，也就是中学的数学，无法开启自然及其规律的大门。欧几里得数学假定数学形式是完整且不变的；它以适当的准确性描述这些形式，并以完美的清晰、秩序和完整性列举其内在及相关属性，也就是说，欧几里得数学研究形式的方式，就像解剖学研究尸体及其器官一样。
另一方面，变量数学——函数论或分析学——则从生成的角度考虑数学形式。通过写出抛物线的方程，我们表达了它的生成规律，即变量点运动的规律。在学生眼前，一个点按照这个规律运动所形成的轨迹，就是抛物线。
如果说欧几里得数学像解剖学研究尸体那样处理空间和数的形式，那么现代数学则如同研究生命体，研究生长和变化的形式，从而不仅让我们理解自然的现状和表象，还理解自然的生成和创造过程——揭示其过渡阶段，并以此培养对生成规律的认知和理解。因此，现代数学与欧几里得数学的关系，就如同生理学或生物学与解剖学的关系。但正是在这一点上，我们对自然的看法远高于古人；我们不再将自然视为一个静止的完整体，因其崇高和丰富的形式而令人赞叹，而是将其视为一个充满活力的生长有机体，按照明确、微妙且深远的规律展开；我们能够在短暂中把握永恒，在 fleeting 现象中把握规律，并能通过数学公式将这些规律以最简单、最真实的方式表达出来。
——E.迪尔曼《数学：新时代的火炬》（斯图加特，1889年），第37页
世人皆知，中学学堂所授算学，大抵循欧氏之法，而洞悉自然机理、揭示天地规律者，实赖现代算学、函数论与微积分。欧氏算学固为函数论之基，然犹若习拉丁语之变格变位，未必能读典籍，更遑论赏贺拉斯之妙——学堂所授欧氏算学，亦难启自然规律之秘。欧氏算学预设形数恒常不变，以精准确述其状，条分缕析其属性，犹如解剖家操刀于尸身。
反观变量算学（函数论或分析学），则究形数之生成。书抛物线方程，即明其生成之律，示动点运行之轨。当学子目睹一点循律而动，抛物线乃现于眼前。
若谓欧氏算学如解剖尸身般研析空间形数，现代算学则如医学生理，察形数之生长变易——不仅知自然之表象，更探其创生之迹，揭其演化之阶，使人通“生成之律”。是以现代算学与欧氏算学之关系，犹生理学（或生物学）之于解剖学。今人之自然观所以超越古人，正在于此：不视自然为静止完体，徒叹其形式崇高繁富；而视之为蓬勃机体，依深远精微之律舒展。吾人于流变中执永恒，于现象中求法则，更以算学公式，显其最简至真之态。
——E.迪尔曼《算学：新时代之火炬》（斯图加特，1889年），第37页
716.现代几何的卓越之处，最明显的在于它对问题给出的全面充分的解答；它在一个视角中呈现所有可能的情况，并且一个一般定理常常涵盖整个学科；如果把这些定理详细推导成命题，并按照古人的方式进行证明，很可能会成为大型论着的主题。因为任何解决这类最复杂问题的定理，经过适当简化后，都能适用于所有从属情况。
——埃德蒙·哈雷《现代代数卓越性的例证；哲学汇刊》，1694年，第960页
现代几何之卓越，最显于解题之全备：一图可括诸般情形，一定理常涵全学科。若按古人之法，逐命题推演证明，必成宏篇巨制。盖能解一类最繁之题者，约而化之，自能通贯从属诸例。
——埃德蒙·哈雷《论现代代数之优长；哲学汇刊》，1694年，第960页
=717.= 十九世纪数学思想最显着的特征莫过于其批判精神。这种精神始于微积分领域，迅速渗透至整个分析学，并在世纪末彻底革新了几何学基础，进而向力学及广阔的数理物理领域拓展......对算术与微积分基础的严格检验揭示出：许多曾被视作确凿无疑的推理其实漏洞百出。——皮尔庞特，J.《十九世纪数学史》；《艺术与科学大会论文集》（波士顿与纽约，1905年）第1卷第482页
十九世纪算学思潮，其彰明较着者，厥为批判之精神。此风肇始于微积之域，俄而席卷析学全界。逮至世纪之末，几何根基为之革新，更波及力学、数理诸科……验算术、核微积，乃知往者奉为圭臬之论，实则罅漏百出。
——J.皮尔庞特《十九世纪算学史》；《学艺大会文编》（波士顿、纽约，1905年），卷一，页四百八十二
=718.= 若将数学难题比作亟待开凿的巨岩，希腊数学家的研究方式恰似技艺娴熟的石匠——他们以铁锤凿子为工具，凭借惊人毅力从外部逐层剥落岩体；而现代数学家则如同专业的矿工，先开掘数条隧道深入岩层，最终用一次爆破便揭开其内部宝藏。——汉克尔，赫尔曼《近世纪数学发展》（蒂宾根，1884年）第9页
若以算学难题喻为岩岫，希腊算家如良匠凿石，持锤握錾，凭坚忍之力，自外而渐次削之；今世算家则似精于开矿之士，先穿隧入岩腹，终一举爆破，而宝藏毕现。
——赫尔曼·汉克尔《近世算学沿革》（蒂宾根，1884年），页九