513. 普鲁士的数学教育！啊，先生，他们教授数学就像你们英国训练少年划船：由世代传承的导师体系培养——现在的教师，其师承可追溯至数代之前的专业训练者。——E·m·兰利，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第43页。
或言：“普鲁士之数学教谕，犹如英伦训童操舟之法！其师者代代相承，今之执教者，溯其渊源，可及数世之前专擅此道者。”
——E·m·兰利，摘自佩里《数学教学》（伦敦，1904年），第43页
514. 对数学的肤浅认知可能导致人们认为这门学科可以附带教学，误以为数花瓣或蚱蜢腿之类的活动就是数学。此类教学忽视了量化推理的根基——量的相等性，使学生无法理解数学科学的本质——相对性。自然学科研究虽常需数字陈述，但若仅将其作为数字练习重复，既难为这些学科增色，更不可能形成真正的数学认知。——w·w·斯皮尔，《初级算术》（波士顿，1897年），第26-27页。
浅识数学者，或谓此学可兼而授之，且以数花瓣、计蚱足之戏为数学。然此等教法，弃量化推理之本——量之等齐，致学者不识数学之要——相对之理。夫格物之学，虽常借数字以明，若仅作算术之习，则于格物无益，亦难成真知灼见。
——w·w·斯皮尔，《初级算术》（波士顿，1897年），第26-27页
515. 数学绝非仅是计算之术，正如建筑不等于制砖伐木，绘画不等于调色板混色，地质学不等于敲碎岩石，解剖学不等于屠宰牲畜。——c·J·凯泽，《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第29页。
数学非止于筹算之技，犹筑室非仅垒砖伐木，绘事非独调彩混色，地质非唯击石碎岩，解剖非止于宰割牲体也。
——c·J·凯泽，《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第29页
516. 数学研究——从普通运算到高阶过程——必须与自然认知结合，同时联系实际经验，方能融入学生的思维领域。——J·F·赫巴特，《教育书信与演讲》[费尔金编]（伦敦，1908年），第117页。
研数学者，自寻常算法至高深之术，必合自然之识，联乎实历，方能入学者之心智。
——J·F·赫巴特，《教育书信与演讲》[费尔金编]（伦敦，1908年），第117页
517. 首先论及数学教学的成效：中学课程中数学教学最为艰难，因多数学生最初对逻辑推论的严格框架抱有强烈抵触。若以感官对象为起点，逐步过渡到抽象表述，则更易激发青年兴趣——从心理学角度看这完全正确。
若探究数学教学的根本目的，此法同样可取。过去人们过分强调其目的是锻炼思维，但同等重要的是使学生确信：基于真实前提的正确思考能驾驭外部世界。要实现这点，教学从一开始就必须关注现实世界。
但需警惕潜在风险：犹如现代语言教学在重视文本理解时，可能完全抛弃语法导致学科失去根基。数学教学若过度堆砌趣味应用而削弱核心逻辑发展，将丧失学科精髓。因此：我们确实需要全面激活数学教学的应用维度，但不应让钟摆从过去几十年过度抽象的一端，猛烈摆向另一个极端；我们追求的始终是恰当的中庸之道。——菲利克斯·克莱因，《高等学校的数学教学》；《德国数学家协会年报》第11卷，第131页。
先论数学教谕之效：中学诸科，数术最难。盖学子初涉，多厌逻辑之严。若以感官可察之物启之，渐入抽象之境，则易兴其趣，此乃合于心理之道。
若究数学教学之本旨，此法亦善。往者过重炼思之效，然令学者深信：本于实据之正思，可驭外物，其功亦伟。欲达此境，教学当始于观物察世。
然须防其偏：犹今世语文学，重文义而废语法，则失其根；数学若溺于趣用，而损逻辑之基，则丧其髓。故曰：数学之用，固当广兴，然不可使昔年过尚抽象之弊，骤趋另一极端。唯执中守正，方得善教之道。
——菲利克斯·克莱因，《高等学校的数学教学》；《德国数学家协会年报》第11卷，第131页
518. 教科书的首要职责是顺应学生的理解力，随着其想象力、逻辑能力和抽象思维的逐步发展而激发更高层次的思考——这恰恰是教学艺术的试金石，也是教育智慧彰显之处。关于公理体系需格外谨慎：应较早说明数学形体与物质形体的本质区别；同时阐明数学形体实为空间的组成部分，必须明确区分数学空间与现实物理空间。学生将逐渐意识到：可见宇宙之外的现实空间无法通过感官认知，其性质无从知晓，故无法判断；而数学空间可人为设定条件（如限定无限远处的性质），这些条件即构成欧几里得公理等基础。但学生往往需要多年才能真正领悟这一论断的深刻性。——古斯塔夫·霍尔兹穆勒，《初等数学系统教程》（莱比锡，1904年），第1部序言，第4-5页。
夫教科书之要务，在于顺乎学者之智，随其想象、逻辑、抽象之能渐长，以启高深之思。此乃教学之妙诣，亦教育睿智之所显也。论及公理之学，尤当审慎：宜早辨数学形体与物质形体之异，明数学形体实乃空间之属；且须详析数学空间与物理空间之别。学者渐悟：感官所不达之宇宙外域，其性难知，故不可臆断；而数学空间，可设其界（如定无穷之性），此即欧几里得公理之基也。然学者欲彻悟此理，常需数载之功。
——古斯塔夫·霍尔兹穆勒，《初等数学系统教程》（莱比锡，1904年），第1部序言，第4 - 5页
519. 与几乎所有人类感兴趣的领域相同，数学的难易完全取决于我们的教学方式。哲学家可能穷尽一生辩论最简单公理的真理性，而苏格兰农夫却能从令思辨哲学家畏惧的教义中构建实用的信仰体系。十岁孩童可研习微分法，十九岁的聪慧青年却可能仍难以理解微积分的基本概念。——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第19-20页。
数学之难易，如世间诸学，皆系于教法。哲者穷其一生，或辩至简公理之真伪；而苏格兰农夫，竟能据玄奥教义，立实用之信仰。十岁童子，可探微分之法；十九龄俊才，犹未达微分之本。
——约翰·佩里，《数学教学》（伦敦，1902年），第19 - 20页
520. 拙劣的教学会使人误以为数学只适合特殊天赋者，实则这是最普世的科学——其四大基本法则在婴孩时期就已启蒙，最终在宇宙运行规律中重现。——t·h·萨福德，《数学教学》（波士顿，1907年），第19页。
教法拙劣，则人谓数学独属天赋异禀者，实则此乃至广至普之学也。其四则之法，始于孩提，终现于天地运行之理。
——t·h·萨福德，《数学教学》（波士顿，1907年），第19页
521. 若能获得顶尖学者的垂青，亲自协助扫清基础阶段的认知障碍，数学研习者的数量必将大幅增长。——奥古斯塔斯·德摩根，《数学的学习与困难》（芝加哥，1902年），前言。
若硕学鸿儒肯垂顾后学，助其破除初学之障，则研习数学者，必如川流之增，不可胜数。
——奥古斯塔斯·德摩根，《数学学习与困难》（芝加哥，1902年），前言
522. 精通数学教学者，若非完全缺乏实验演示能力，必能胜任其他自然科学的教学；而纯实验主义者往往错将科学本质理解为炫目的感官展示，而非严密的真理推演。——亚历山大·贝恩，《作为科学的教育》（纽约，1898年），第298页。
善教数学者，若具实验之能，则兼通格物诸科；然唯重实验之辈，常以科学为炫目感官之戏，而昧于严密推理之真髓。
——亚历山大·贝恩，《作为科学之教育》（纽约，1898年），第298页
523. 数学提供的习题具有无可比拟的梯度性与普适性：既能精准匹配学习者的水平，又始终保持智力价值。初学者的几何练习题往往蕴含着令古希腊几何学家激赏的巧思，而语法练习相较之下则显得刻板做作。可以断言：欧几里得和阿波罗尼乌斯会饶有兴趣地审视当今学生的几何习题，但其他学科的大师们断不会俯就关注入门教材。——艾萨克·托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第10-11页。
数学之习题，其阶次分明，适用广博，既能应学者之能，又不失智趣。初学几何之题，常含令古希腊几何大家称妙之巧思；较之于语法之习，刻板相形见绌。可断言：欧几里得、阿波罗尼乌斯若见今世学子之几何题，必欣然观之；然他学宗师，鲜有垂注入门之书者。
——艾萨克·托德亨特，《学科的冲突》（伦敦，1873年），第10 - 11页
524. 用于阐释原理的直观图形应尽可能简洁纯粹，不含多余元素。图形需为纯粹的量的表征，如此一来，学生的思维才不会被分散，且能明确知晓所呈现内容中需关注的特征。
——十人委员会关于中等学校学科的报告（纽约，1894年），第109页
夫释理之图，当去其繁饰，务令简纯。必为纯然量之形，使童子之思不惑，知所观之要。
——十人委员会论中学学科报告（纽约，1894年），第109页
525. 几何推理与算术运算各有其职能：若在基础教学中混淆二者，将不利于对两者的正确掌握。
——德摩根《三角学与双重代数》（伦敦，1849年），第92页
几何之推理，算术之运算，各有其用。若于蒙学混而教之，两科皆难致精。
——德摩根《三角学与双重代数》（伦敦，1849年），第92页
526. 方程是算术计算的表达形式，本不应在几何中占据位置，除非涉及真正几何意义上的量（即线段、平面、立体及比例关系）之间的相等关系。乘法、除法等计算方式被引入几何领域尚属新近之事，且这种引入欠妥，违背了这门科学的初衷。但凡研究过早期几何学家借助直线和圆解决问题的思路便会发现：几何的创立正是为了通过图形绘制，避免繁琐的算术计算。因此，这两门学科不应混淆。古人曾悉心将二者区分，从不在几何中使用算术术语。而现代人混淆两者，致使几何丧失了其本应具备的简洁之美——这种简洁正是几何魅力的核心。从算术角度看，由更简单的方程得出的解更为简洁；但从几何角度看，借助更简单的作图步骤得出的解才更具几何简洁性。在几何中，最值得推崇的应当是几何意义上最简洁的解法。
——牛顿《论方程的线性构建；普遍算术》（伦敦，1769年），第二卷，第470页
方程者，算术之式也，本不当入几何，唯几何量（线、面、体及比例）相等时可用。乘除诸算，近世始入几何，然非审慎，违此学之初衷。观古几何家以规尺解算，可知几何之作，正为省算之繁。是故两学不可相杂。古人辨之甚明，未尝以算术语入几何。近人混之，遂失几何简素之美，此乃其雅趣之本也。算术之简，在方程式简；几何之简，在作图法简。几何中，当以作图至简者为上。
——牛顿《论方程直线构法·普遍算术》（伦敦，1769年），第二卷，第470页
527. 当代数与几何分道扬镳时，各自发展缓慢且应用受限。但当这两门科学结合后，彼此汲取新生力量，自此便以迅猛之势迈向完善之境。
——拉格朗日《数学基础教程》，第五讲 [麦科马克译本]
代数、几何异途时，其进也缓，其用也狭。及两学相合，互济生机，乃疾驰趋于完善。
——拉格朗日《数学基础讲义》第五讲 [麦科马克译]