247. [数学中运用的]推理过程与其他知识领域并无不同……但需要高度集中注意力——这种专注力对所有知识获取都部分必要，而对数学则绝对必要。必须全神贯注；……数学思维的其他特质还包括：迅速觉察逻辑关联、热爱秩序、条理与和谐，以及概念的清晰性。——普莱斯《无穷小演算论》（牛津1868）第三卷第6页
数学之推理，与他学之推求本无殊异……然其要在凝神聚志。专注之力，于诸学求知皆不可或缺，而于数学尤为至要，非全神贯注不可为也。且数学思维别有其质：能敏察逻辑之脉络，笃好秩序、条理与和谐之美，务求概念明晰透彻。
——普莱斯《无穷小演算论》（牛津，1868）第三卷，第六页
248. 读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，自然哲学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞使人善辩。——培根《论读书》
观史者，明睿通达；咏诗者，灵韵秀逸；究数术者，缜密精详；格自然之理者，闳深致远；修伦理之道者，端方持重；习辩术之学者，口若悬河。——培根《论学》
249. 数学家仅处理对象的两种属性——数与广延，所需的所有归纳法早在千百年前就已形成完善。如今他只专注于演绎与验证。——赫胥黎《自然科学的教育价值》《世俗说教、演讲与评论》（纽约1872）第87页
数学家之所治，唯对象之二性：数与广延而已。其所需归纳之法，早在累世之前，已然完备。今之学者，但专心于推绎证验之事耳。
——赫胥黎《自然科学之教育价值》，载《世俗说教、演讲与评论》（纽约，1872），第八十七页
250. [数学]这门学科与观察、实验、归纳、因果都毫无瓜葛。——赫胥黎《实证主义的科学面向》《双周评论》（1898）；《世俗说教、演讲与评论》（纽约1872）第169页
数学之学，于观物、察验、推类、溯因诸事，皆无涉焉。
——赫胥黎《实证主义之科学面向》，载《双周评论》（1898）；《世俗说教、演讲与评论》（纽约，1872），第一百六十九页
251. 有人说数学是门不涉及观察、实验、归纳与因果的学科。我认为没有比这更违背事实的论断：数学分析不断求助于无法用言语精确定义的新原理、新观念与新方法，它们直接源自人类心智的固有力量与活动，源自对思想内在世界的持续反省（我认为个人内在世界与外在物理世界的关系，犹如影子与投影物的关系，或如空握的手掌与紧握的拳头）；数学不断唤起观察与比较的能力，以归纳为主要武器，频繁借助实验验证，为想象力与创造力的最高发挥提供无限空间。——西尔维斯特《英国科学促进协会主席致辞》《埃克塞特会议报告》（1869）第1-9页；《数学论文集》第二卷第654页
或谓：“数学者，不涉观物、察验、推类、溯因之学也。”然吾以为，此论大谬不然。数学分析之进，常赖新理、新说、新法，其义难以言诠。盖此皆源于人心固有之能、思维运化之功，亦出于对内心世界之省察。（窃以为，人心内象与外物之关联，犹影之于形，拳之张弛也。）数学之研，恒启人观物比类之智，以归纳为利器，借验试以证理，更使想象、创造纵横驰骋，无有涯涘。
——西尔维斯特《英国科学促进协会主席致辞》，载《埃克塞特会议报告》（1869），第一至九页；《数学论文集》第二卷，第六百五十四页
252. 数学理论的实际发展过程所运用的归纳法，与构建物理科学所用的归纳法严格类似：观察、比较、分类、尝试与概括在两者中同样关键。不仅各自独立获得的特殊结果常被纳入更普遍的概括，原本独立发展的数学分支也常因内在关联而能综合成统一体系。数学思维的本质，正体现于在表面迥异的领域中洞察数学层面的根本同一性。麦克马洪少校的杰出发现为此提供了绝佳例证：所有拉丁方阵的枚举问题，通过特定微分算子理论即可简单解决。这个案例中，原本看似无法直接处理的枚举问题，当认识到其本质运算与微分算子运算的同一性后（尽管表面看来微分计算与拉丁方阵属于完全不同的思想领域），便能迎刃而解。——霍布森《英国科学促进协会主席致辞》（1910）；《自然》第84卷第290页
数学理论之演进，所用归纳之法，与物理科学所构者酷似：观物、比类、辨章、试求、总括诸事，于二者皆为枢要。非但殊途所得之果，常汇于更宏阔之论；即数学诸分支，虽本自独立，亦每因内在之契，熔铸为一统之系。数学思维之精要，在于洞察异境殊域中，数学本原之同一。麦克马洪少校之卓见，可为明证：昔者拉丁方阵之计数难题，至为繁赜，然借微分算子之理，竟能简易解之。盖此计数之算，与微分算子之运，虽貌若悬隔，然究其本质，实出同源。一旦悟其理之相通，昔日棘手之题，倏然冰释。
——霍布森《英国科学促进协会主席致辞》（1910）；《自然》第八十四卷，第二百九十页
253. 有人认为数学研究无助于培养观察力，实则从儿童萌发的最基础数学概念，到数学探索的最前沿应用，这种能力始终在持续锻炼。此处所言观察力，专指专注对象（物质或精神）以辨识特征——觉察相似、差异及其他关系的能力。儿童最初认知与、与、与等区别的心理活动，正是这种观察。同样，最初的几何概念也是这种能力的纯粹运用。认识直线并区分曲线，识别三角形及其各类变体——这些对形状的认知，不正是系列观察吗？观察不仅在获取数字与形状的基本概念中至关重要，作为推理方法的普通几何学本质就是系列观察。图形通过视觉呈现或心灵构想被细致审视，所有特征被充分认知；辅助线（由想象力引导）的引入促成新观察序列，研究便通过直接简单的观察推进。这种研究方法如此典型，以致最杰出的数学哲学家孔德甚至将几何学方法归入基于观察的自然科学。应用数学领域更将这种能力的运用称为，成为所有推理的基础材料。实际上人类大多数心智能力都能在数学研究中得到充分锻炼：记忆能力通过数数、乘法表等基础训练获得强化，高阶分支需要记忆的公式足以令外行却步；想象力在所有原创数学研究中持续运作——从解决简单问题到发现深奥原理，并非如常人所想通过确定步骤从已知推向未知，而是由想象力（非逻辑能力）引领突破。实践观察常领先于逻辑阐述：想象提出假设，观察提供事实，而逻辑将其与已知联系可能需时数百年。数学与其他科学同样印证这点，当今多数思想家甚至质疑微积分是否仅有经验基础（数学家对其逻辑基础仍存分歧）。任何成功完成过简单几何命题原创证明者，都不会怀疑想象力（非逻辑能力）在原创研究中的主导作用。归纳、类比、前提检验与探索、概率权衡等思维活动，同样活跃于数学领域。虽不能断言数学训练在所有智力培养领域都占优势，但或许可以说：几乎没有其他学科能像数学这样，从基础原理到前沿应用，为如此多心智能力提供完整渐进的训练体系。——奥尔尼《基德尔与舍姆教育百科全书》（纽约1877）条目
或谓研习数学，于观物之能无所裨益，此乃大谬。自童蒙初识数之理，至鸿儒探索数学之奥，观物之能无时不炼。所谓观者，专指凝神于物象或心象，辨其特征，察其同异及诸般关联之能也。童子初辨“一”“多”、“一”“二”、“二”“三”之殊，此即观物之始；初识几何之形，亦赖此能。辨直线于曲线，别三角之诸态，皆系列观察之功也。
观物之要，不仅见于数形基本概念之习得，即普通几何之推理，本质亦为系列观察。图形或呈于目，或构于心，必详审其态；复借想象引辅助之线，开启新观。此研求之法，至为典型，故孔德以降，有数学哲匠将几何之法，归诸自然科学之观察一途。至于应用数学，尤重“观测”，以此为推理之本。
实则数学研习，可炼人心智诸能：记诵之能，始于识数、背表，及至高深之学，公式繁复，非强记不能通；想象之能，于原创研究中无处不在。解简题、探玄理，非循规蹈矩可致，实赖想象为先导，逻辑反居其后。观物常先于论理，想象立其假说，观察供其事实，逻辑贯其脉络，或历数百年方得明证。微积分之基，至今犹存争议，众说纷纭，莫衷一是，此亦足证斯理。凡尝自证几何命题者，必知原创之要，在想象而非逻辑。归纳、类比、验理、度势诸思维，皆活跃于数学之域。虽不敢言数学之训，独冠智力培养之林，然鲜有他学，能如数学般，自基础至前沿，为众般心智，备全备渐进之训练体系也。
——奥尔尼《基德尔与舍姆教育百科全书》（纽约，1877）“数学”条目
254. 这一源自数学的普适函数概念，正逐渐取代自然科学中传统的狭义因果观。作为最普遍意义上决定关系的抽象表述，函数概念涵盖并超越了这一特例（即当下条件对未来的单向决定）。它能表达现象序列中过去、现在与未来皆服从同一普遍定律的事实。就此而言，赫胥黎数学不知因果的论断，唯有当特指动力因时才成立。而近代科学已日益认识到：正如在数学中一样，动力因在自然科学中同样无关紧要——彻底的、符合形式定律的决定性，才是两大领域唯一重要的概念。——霍布森《英国科学促进协会主席致辞》（1910）；《自然》第84卷第290页
数学所出之普适函数观，渐替自然科学旧有之狭义因果论。函数者，“决定关系”之至广抽象也，包举“因果”而超逸之。盖传统因果，唯言当下制于未来之单向，而函数之理，可彰现象本末皆循同律。就此而论，赫胥黎所谓“数学无涉因果”，仅当“因果”专指“动力因”时方得成立。今之科学愈明：数学与自然之学，皆不以动力因为重。唯合于形式定律之彻然决定性，乃两学共同之要旨也。——霍布森《英国科学促进协会主席致辞》（1910）；《自然》第八十四卷，第二百九十页
255. 现代数学的伟大思想大多（若非全部）源自观察。例如：源于费马未经证明的丢番图定理的算术型论（连欧拉的天才都未能攻克，直到高斯的天才熔炉才揭示其本质）；雅可比从纯分析变换事实中观察得出的双周期理论；勒让德的互反律；斯图姆关于方程根的定理（据他亲口告知，是在研究复合摆运动的力学问题时突然发现的）；惠更斯的连分数法（被拉格朗日誉为其最伟大发现，源自行星自动机的构造）；以及新代数（我的前任斯波蒂斯伍德先生曾在此讲坛公正指出：它每年都与数学新分支建立不可分割的联系，使方程论几乎焕然一新，代数几何在其光芒下脱胎换骨，变分法、分子物理与力学——若在今天还可补充弹性论与积分发展——无不感受其影响）。——西尔维斯特《为数学家辩护》，《自然》第1卷第238页；《数学论文集》第二卷第655-656页
今世数学之宏论精思，十之八九（或谓悉数），皆肇端于观物察理。如费马所遗未证之丢番图定理，催生算术型论，虽欧拉之才未能尽解，终赖高斯睿思，方揭其本；雅可比观纯分析变换之实，创双周期之论；勒让德悟互反之律；斯图姆研复合摆之力学，忽得方程根之定理（据其自述）；惠更斯造行星自动之机，遂成连分数之法，拉格朗日赞为至伟之发现。至于新代数，斯波蒂斯伍德先生尝于兹处言：“其岁岁与数学新支相融，方程之论因之焕新，代数几何沐其光华而重塑，变分、分子物理、力学皆受其泽。”若以今观之，弹性理论、积分之学，亦莫能外也。——西尔维斯特《为数学家辩护》，载《自然》第一卷，第二百三十八页；《数学论文集》第二卷，第六百五十五至六百五十六页