谁不渴望揭开未来的面纱，一窥科学接下来的进展，以及未来几个世纪里学科发展的奥秘呢？未来几代数学界的领军人物会朝着哪些特定目标努力？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪又将揭示哪些新方法与新发现？
历史告诉我们，科学发展具有连续性。我们知道，每个时代都有其专属的问题——这些问题要么被下个时代解决，要么被认定为无利可图而搁置，取而代之的是新的问题。若想了解数学知识在近期可能的发展方向，我们就必须梳理那些尚未解决的问题，审视当今数学领域提出的、有待未来给出答案的课题。如今正值世纪之交，对这些问题进行梳理，在我看来再合适不过。因为一个伟大时代的落幕，不仅会促使我们回望过去，更会引导我们思考未知的未来。
毫无疑问，某些问题对数学科学的整体发展意义深远，且在研究者的工作中发挥着重要作用。只要某一学科领域仍存在大量问题，它就充满活力；而问题的缺失，则预示着该学科要么走向停滞，要么失去独立发展的能力。正如人类的每项事业都有其追求的目标，数学研究也需要问题的推动。研究者通过解决问题检验自身能力，发现新方法、开拓新视角，从而获得更广阔、更自由的研究视野。
要提前准确判断一个问题的价值，往往十分困难，有时甚至根本不可能——因为最终的评判标准，取决于科学从这个问题中获得的收益。不过，我们仍可追问：是否存在评判“好的数学问题”的通用标准？一位法国老数学家曾说：“一门数学理论，只有当你能把它解释给街上遇到的第一个人听，才算真正完整。”对于数学理论，我们要求它清晰易懂；而对于一个完美的数学问题，我认为更应如此——因为清晰易懂的事物具有吸引力，复杂晦涩的事物则会让我们望而却步。
此外，一个好的数学问题既要足够困难，能激发我们的探索欲；又不能完全无法解决，以免让我们的努力沦为徒劳。它应成为我们在错综复杂的道路上寻找隐藏真理的路标，最终在我们成功解决它时，让我们重温那份喜悦。
过去几个世纪的数学家们，习惯满怀热忱地投身于解决复杂的特定问题。他们深知难题的价值。在此，我只需提及约翰·伯努利提出的“最速降线问题”。伯努利在公开提出这个问题时解释道，经验表明，要激发杰出人才推动科学进步，最好的方式莫过于向他们提出既困难又实用的问题。因此，他效仿梅森、帕斯卡、费马、维维亚尼等前辈，向当时的顶尖分析学家们提出这一问题——将其作为检验方法价值、衡量自身能力的“试金石”，并希望借此赢得数学界的认可。变分法的诞生，正是源于伯努利的这一问题及类似课题。
众所周知，费马曾断言，丢番图方程（注：原文方程缺失，通常指“费马大定理”所涉及的方程：x^n + y^n = z^n，其中n ＞ 2）除某些显而易见的情况外，不存在正整数解。尝试证明这一“不可解性”，为我们提供了一个极具说服力的例子——一个看似特殊、甚至无关紧要的问题，也能对科学产生巨大的启发作用。库默尔正是受到费马问题的激励，引入了“理想数”的概念，并发现了“分圆域中的数可唯一分解为理想素因子”的定理。如今，经戴德金与克罗内克推广，这一定理可适用于任意代数域，成为现代数论的核心内容；其意义早已超越数论的范畴，延伸至代数学与函数论领域。
若谈及一个截然不同的研究领域，我想提一提“三体问题”。庞加莱为天体力学带来了富有成效的方法与影响深远的原理，如今这些成果已在实用天文学中得到认可与应用——而这一切的契机，正是他着手重新研究这一难题，并努力向解决方案靠近。
刚才提到的两个问题——费马问题与三体问题——在我们看来仿佛两极：前者是纯粹理性的自由创造，属于抽象数论的范畴；后者则由天文学催生，是理解自然界最简单基本现象的必要课题。
但往往也会出现这样的情况：同一个特定问题，能在数学知识中最不相关的分支里找到应用。比如“最短线问题”，它在几何学基础、曲线与曲面理论、力学以及变分法中，都扮演着关键角色，且具有重要的历史意义。再如，F.克莱因在其关于正二十面体的着作中，极具说服力地展现了“正多面体问题”的重要性——它在初等几何、群论、方程理论以及线性微分方程理论中，都有着深刻的影响。
为了进一步说明某些问题的重要性，我还可以引用魏尔斯特拉斯的例子。他曾说，自己何其幸运——在科学生涯起步之初，就遇到了雅可比反演问题这样重要的课题可供研究。
既然我们已经回顾了问题在数学中的普遍重要性，接下来不妨探讨一个问题：数学这门学科的问题源自何处？显然，每门数学分支中最早、最古老的问题，都源于经验，由外部现象世界所引发。即便是整数的运算规则，想必也是人类文明早期通过这种方式发现的——就像如今的孩子，也会通过经验方法学习这些规则的应用。
几何学的早期问题亦是如此，比如古代流传下来的“倍立方体”“化圆为方”等难题；还有代数方程求解理论、曲线理论、微积分、变分法、傅里叶级数理论、位势理论中的古老问题——更不用说那些显然属于力学、天文学与物理学范畴的大量问题了。
然而，随着某一数学分支的进一步发展，人类的思维会因解决问题的成功而备受鼓舞，进而意识到自身的独立性。它会仅凭自身力量，往往在不受外界明显影响的情况下，通过逻辑组合、推广、特殊化，以及巧妙地拆分与整合思想，衍生出全新的、富有成效的问题。此时，思维本身就成了真正的提问者。
数论中的素数问题及其他问题、伽罗瓦方程理论、代数不变量理论、阿贝尔函数与自守函数理论，实际上几乎所有现代算术与函数论中精妙的问题，都是这样产生的。
与此同时，当纯粹理性的创造力在发挥作用时，外部世界会再次介入：它从实际经验中为我们提出新问题，开辟数学的新分支。而当我们试图将这些新的知识领域纳入纯粹思维的范畴时，往往会找到古老未决问题的答案，从而同时极大地推动旧有理论的发展。
在我看来，数学家们常常能在其学科各分支的问题、方法与思想中，察觉到无数惊人的类比与看似“预先安排好的和谐”——这种和谐的根源，就在于思维与经验之间这种不断循环的相互作用。
接下来，我们简要探讨对数学问题的解法应提出哪些合理的通用要求。首先，我认为最重要的一点是：必须能够通过有限步骤，基于有限个假设，证明解法的正确性。这些假设隐含在问题表述中，且必须始终被精确阐明。这种“通过有限步骤进行逻辑推导”的要求，本质上就是对推理“严谨性”的要求。
事实上，数学中众所周知的“严谨性要求”，对应着人类认知层面的普遍哲学必要性；另一方面，只有满足这一要求，问题的思想内涵与启发意义才能充分体现。一个新问题（尤其是源于外部经验世界的问题）就像一根嫩枝，只有严格遵循园艺规则、小心嫁接到“老树干”——即数学学科已有的成熟成果——上，才能茁壮成长、结出果实。
此外，认为“证明的严谨性与简洁性相互对立”是一种误解。相反，无数例子都证明：严谨的方法往往同时也是更简洁、更易理解的方法。对严谨性的追求，会迫使我们找到更简单的证明思路；它还常常能引领我们发现比不够严谨的旧方法更具发展潜力的新方法。
例如，借助更严谨的函数理论方法，并系统引入超越性工具后，代数曲线理论实现了显着简化，也获得了更高的统一性。再如，“幂级数可进行四则运算及逐项微分、积分”的证明，以及基于这一证明对幂级数实用性的认可，极大地简化了整个分析学——尤其是消元理论、微分方程理论，以及这些理论中必需的存在性证明。
而最能印证我这一观点的例子，当属变分法。过去，对定积分的一阶变分与二阶变分的处理，部分需要极为复杂的计算，且老一辈数学家所用的方法缺乏必要的严谨性。魏尔斯特拉斯为变分法指明了建立新的、可靠基础的方向。在本次演讲结尾，我将以单积分与重积分为例，简要说明这一方向如何立即为变分法带来惊人的简化：在证明极值存在的充要条件时，不仅可以完全省去二阶变分的计算，甚至能省去与一阶变分相关的繁琐推理——更不用说这一方法还突破了“函数的微分系数变化微小”这一限制，带来了实质性进展。
在强调“严谨性是完美解决问题的必要条件”的同时，我也想反驳一种观点：即认为只有分析学的概念（甚至仅算术的概念）才能被完全严谨地处理。这种偶尔由权威人士提出的观点，我认为是完全错误的。若如此片面地解读“严谨性要求”，很快会导致我们忽视所有源于几何学、力学与物理学的概念，切断来自外部世界的新素材供给，最终甚至会排斥连续统与无理数的思想。
但想想看，若剔除几何学与数学物理学，数学学科的重要“脉络”将被斩断，这会造成多么严重的后果！相反，我认为：无论数学思想源自认识论、几何学，还是自然科学与物理学，数学学科都有责任去探究这些思想背后的原理，将它们建立在一个简单且完整的公理体系之上，确保这些新思想的精确性及其在推理中的适用性，绝不逊色于传统的算术概念。
新的概念必然对应新的符号。我们选择符号时，会让它能唤起我们对“催生该概念的现象”的记忆。比如，几何图形就是空间直觉的符号或记忆工具，所有数学家都会这样使用它们。
谁在用到双重不等式（如a ＜ b ＜ c）时，不会同时在脑海中浮现“三点在直线上依次排列”的画面，将其作为“介于”这一概念的几何直观呢？当需要用绝对严谨的方式证明函数连续性或凝聚点存在性这类难题时，谁不会借助“线段嵌套”“矩形嵌套”的图示呢？谁能不用三角形、带圆心的圆，或是三条互相垂直的坐标轴（十字坐标系）这些图形呢？又有谁会舍弃向量场的表示，或是“曲线族、曲面族及其包络”的图像——要知道，这些图像在微分几何、微分方程理论、变分法基础及其他纯数学学科中，都发挥着至关重要的作用。
算术符号是“书写出来的图形”，几何图形则是“图形化的公式”。没有哪位数学家能舍弃这些图形化公式，就像在计算中不能不用括号的增减，或是其他分析学符号一样。
将几何符号用作严谨证明的工具，前提是我们精确掌握这些图形背后的公理；而要让几何图形融入数学符号的通用体系，就必须对其概念内涵进行严谨的公理式研究。这就像加法运算中，必须将数字按正确顺序上下对齐——因为只有运算规则（即算术公理）能决定数字的正确用法；同理，几何符号的使用，也由几何概念及其组合所依据的公理决定。
几何思维与算术思维的一致性，还体现在：无论是算术讨论还是几何讨论，我们都不会习惯性地将推理链条追溯到公理本身。相反，尤其是在刚着手解决一个问题时，我们会进行快速、无意识且并非绝对可靠的联想——这种联想依赖于对“算术符号行为”的某种算术直觉；就像几何中离不开几何想象力一样，算术中也离不开这种直觉。
若要举一个“用几何思想和符号进行严谨运算的算术理论”例子，我可以提及闵可夫斯基的着作《数的几何》（die Geometrie der Zahlen）[2]。
在此，或许有必要谈谈数学问题可能带来的困难，以及克服这些困难的方法。
当我们无法解决某个数学问题时，原因往往是：我们没能找到一个更具普遍性的视角——从这个视角看，当前的问题不过是一系列相关问题链条中的一个环节。找到这个视角后，不仅当前问题的解决会变得更容易，我们还能同时掌握一种可应用于相关问题的方法。柯西引入“复积分路径”，库默尔在数论中引入“理想数”概念，都是这类例子。
这种“通过找普遍方法解决问题”的路径，无疑是最切实、最可靠的：因为一个人若心中没有明确的问题，却去寻找方法，大多会徒劳无功。
在处理数学问题时，我认为“特殊化”比“一般化”发挥着更重要的作用。或许在大多数“我们找不到问题答案”的情况中，失败的原因在于：那些比当前问题更简单、更基础的问题，要么完全没被解决，要么没被彻底解决。因此，关键在于找出这些更简单的问题，并用尽可能完善的方法、可推广的概念去解决它们。
这条准则是克服数学困难最重要的“杠杆”之一，而且在我看来，人们几乎总会用到它——即便可能是无意识的。
偶尔会出现这样的情况：我们在“假设不充分”或“理解方向错误”的前提下寻求解决方案，因此无法成功。这时就会产生一个新问题：证明在给定假设下，或在当前理解的方向上，该问题的解决是不可能的。
古人就曾完成过这类“不可能性证明”，例如他们证明了等腰直角三角形的斜边与直角边的比值是无理数。在后来的数学中，“某些解法是否可能”的问题占据了核心地位——我们由此看到，那些古老而困难的问题，如平行公理的证明、化圆为方、用根式求解五次方程等，最终都得到了完全令人满意的严谨解答，只是解答方向与最初设想的不同。
或许正是这个重要事实，再加上其他哲学层面的原因，催生了一种信念（每个数学家都认同，但至今无人能证明）：每个明确的数学问题都必然能得到精确解决——要么给出问题所要求的实际答案，要么证明该问题无法解决，从而说明所有尝试都必然失败。
随便找一个未解决的明确问题，比如欧拉-马歇罗尼常数是否为无理数，或是是否存在无穷多个形如（注：原文未完整给出，通常指“形如n^2 + 1”等特定形式）的素数。无论这些问题在我们看来多么难以触及，无论我们在它们面前多么无助，我们都坚信：它们的解答必然能通过有限步纯粹的逻辑推理得出。
这种“每个问题都可解”的公理，是数学思维独有的特质吗？还是说，它可能是人类心智本质中固有的普遍规律——即心智提出的所有问题都必然有答案？因为在其他学科中，也存在一些古老问题，它们通过“证明不可能性”的方式，得到了对学科发展极具价值的圆满解决。
永动机问题就是一个例子。在试图构造永动机的努力失败后，人们开始研究“若永动机不可能存在，自然界的力之间必须满足怎样的关系”[3]；这个反向问题最终推动了能量守恒定律的发现，而该定律又反过来解释了为何最初设想的永动机是不可能实现的。
“每个数学问题都可解”的信念，是研究者强大的动力源泉。我们内心始终回荡着这样的召唤：问题就在那里，去寻找答案吧。你完全可以通过纯粹的理性找到它，因为在数学中，没有“不可知”（ignorabimus）。
数学中的问题是无穷无尽的：一个问题刚被解决，无数新问题就会随之涌现。接下来，请允许我尝试性地列举一些来自数学各分支的具体问题——对这些问题的研究，有望推动学科发展。
让我们先看看分析学与几何学的基础。在我看来，上世纪该领域最具启发意义和里程碑意义的成就，莫过于柯西、波尔查诺与康托尔通过算术方法对“连续统”概念的表述，以及高斯、波尔约与罗巴切夫斯基发现的非欧几里得几何。因此，我首先想让大家关注一些属于这些领域的问题。
[1] 本文由玛丽·温斯顿·纽森博士（dr. mARY wINStoN NEwSoN）经作者许可为《公报》（bULLEtIN）翻译。原文发表于《哥廷根新闻》（G?ttinger Nachrichten）1900年第253-297页，以及《数学与物理档案》（Archiv der mathematik und physik）第三辑第一卷（1901年）第44-63页与第213-237页。
[2] 莱比锡，1896年（指闵可夫斯基《数的几何》一书的出版信息）。
[3] 参见亥姆霍兹（helmholtz）《论自然力的相互作用及物理学近期相关研究成果》（Ueber die wechselwirkung der Naturkr?fte und die darauf bezuglichen neuesten Ermittelungen der physik），1851年于柯尼斯堡（K?nigsberg）发表的演讲。