=1604.=一位古代学者曾说“算术和几何是数学的双翼”。毫不夸张地说，这两门科学是所有处理“量”的学科的基础与核心。它们不仅是基础，也仿佛是“拱顶石”——因为无论何时获得一个研究结果，若要运用它，就必须将其转化为数字或线条：转化为数字需要借助算术，转化为线条则需要借助几何。
——拉格朗日《数学基础讲义》，第二讲
古贤有云：“算术、几何，数学之双翼也。” 今观之，此二学实为诸量度之学之本，亦为其极。盖凡有所得，欲以致用，非化之为数，即形之为线。化数需赖算术，图形必资几何。——拉格朗日《数学基础讲义》，第二讲
=1605.=是“数”支配着一切，是“度量”建立了普遍的秩序……数学所揭示并深入探索的世界，其特征在于：在所有变化与动荡中，始终存在着宁静的平和、不可侵犯的秩序，以及不可动摇的确定性。
——E. 迪尔曼
《数学：新时代的火炬手》（斯图加特，1889年），第12页
数者，统摄万类；度者，定立乾坤。数学所揭之境，虽万变纷纭，然宁静恒在，秩然不紊，安如磐石。
——迪尔曼《数学：新时代之火炬》（斯图加特，1889 年），页十二
=1606.=数啊，你是哲学的引导者，
是文字的综合者……
——埃斯库罗斯
（引自J.A. 汤姆森《科学导论》第1章，伦敦）
数者，启哲思之先路，
汇文辞之精要。
——埃斯库罗斯（引自汤姆森《科学导论》，第一章，伦敦）
=1607.=在我们拥有的所有观念中，“一”或“统一”的观念最为简单，也最易被心灵感知。它没有任何多样性或复合性的影子：我们的感官所关注的每个对象、理解中的每个观念、头脑中的每个想法，都伴随着这个观念。因此，它不仅与我们的思维联系最紧密，也是与所有其他事物最一致的“最普遍的观念”。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第2卷，第16章，第1节
人心所具诸念，“一”最为简纯，至精至粹，无杂无紊。目之所接，思之所及，皆有“一”存焉。故其与心最契，亦为万物共通之念。——洛克《人类理解论》，卷二，章十六，节一
=1608.=在所有简单的“数的模式”中，每个模式都极为独特：哪怕只增加“一”这个最小的变量，也会使每个组合与最接近的组合截然不同，就像2和1的区别，与200和1的区别同样明显；“2”的观念与“3”的观念截然不同，就像地球的大小与尘埃的大小截然不同。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第2卷，第16章，第3节
数之诸式，各有其异。增一之差，虽微若秋毫，然其别若霄壤。二之于一，犹二百之于一；二之念与三之念，犹如天地之与尘埃，判然有分。——洛克《人类理解论》，卷二，章十六，节三
=1609.=一个类的“数”，是所有与该类相似的类所组成的类。
——伯特兰·罗素
《数学原理》（剑桥，1903年），第115页
一类之数，即诸类之相似者所聚之属。——罗素《数学原理》（剑桥，1903 年），页一百一十五
=1610.=“数”是一组不同事物的属性，只要这组事物中每个个体的独特性未被破坏，无论这组事物经历何种变化，“数”都保持不变。
——h.b. 法恩
《代数数系》（波士顿与纽约，1890年），第3页
数者，群物之性也。群物虽变，然其个体之异不泯，则数亦恒常不易。——法恩《代数数系》（波士顿、纽约，1890 年），页三
=1611.=算术这门科学，可称为“在空间、力和时间维度上，对物质与事物进行精确限定”的科学。
——F.w. 帕克《教育学漫谈》（纽约，1894年），第64页
算术之学，所以定物之形、度力之量、察时之变，皆务求精确。——帕克《教育学丛谈》（纽约，1894 年），页六十四
=1612.= - 算术是“函数求值”的科学，
- 代数是“函数变换”的科学。
——G.h. 霍维森
《思辨哲学杂志》第5卷，第175页
算术者，求函数之值；
代数者，变函数之形。
——霍维森《思辨哲学杂志》，卷五，页一百七十五
=1613.=“算术基于对‘时间’的纯粹直觉”这一观点，不如“几何基于对‘空间’的纯粹直觉”那么显而易见，但可通过以下方式轻松证明：所有计数都源于对“1”的重复设定，而要知道重复了多少次，我们需要每次用不同的词语标记，这些词语就是数字。重复的可能源于“连续性”，而连续性依赖于对时间的直接直觉——只有借助“时间”概念，连续性才是可理解的，因此计数必须借助时间。计数对时间的依赖还体现在：所有语言中，乘法都用“次”（如德语“mal”）来表达，即借助时间概念，例如拉丁语“sexies”、希腊语“?ξaki?”、法语“six fois”、英语“six times”。
——亚瑟·叔本华
《作为意志和表象的世界》，《着作集》（弗劳恩施塔特编，莱比锡，1877年），第3卷，第39页
几何本于空间之直观，人所共知；然算术源于时间之直觉，其理隐奥。盖计数之法，以“一”相续，欲明其数，必待次第。次第之成，基于时间。古今诸语，表乘皆云“次”，如拉丁文 “sexies”、希腊文 “?ξaki?” 、法文 “six fois” 、英文 “six times” ，此即数依于时之证也。——叔本华《作为意志与表象的世界》，《文集》（弗劳恩施塔特编，莱比锡，1877 年），卷三，页三十九
第十六章
算术
=1614.=现代计算的神奇力量源于三项发明：阿拉伯数字符号、十进制分数与对数。
——F. 卡乔里
《数学史》（纽约，1897年），第161页
今世计算之神妙伟力，肇基于三事：阿拉伯数码、十进分数与对数也。
——F. 卡乔里《数学史》（纽约，1897年），第161页
=1615.=印度人最伟大的数学成就，也是所有数学研究中对人类智力进步贡献最大的发明，是数字书写中的位值原理。
——F. 卡乔里
《数学史》（纽约，1897年），第87页
天竺人于数学之至伟功绩，亦为数学诸研究中，裨益人类智识长进最甚者，乃数位记法之位值原理也。
——F. 卡乔里《数学史》（纽约，1897年），第87页
=1616.=对数的发明及早期对数表的计算，是精确科学史上极为引人注目的篇章。除牛顿的《自然哲学的数学原理》外，英国从未有其他数学着作能产生如此重要的影响，也没有任何着作能像纳皮尔的《奇妙对数定律说明书》那样引发广泛关注。
——J.w.L. 格莱舍
《大英百科全书》第9版，“对数”条目
对数之创制，及早期对数表之推演，诚为精密科学史上夺目之华章。自牛顿《自然哲学之数学原理》以外，英伦素无他数学典籍，能成此等巨功；亦无着作若纳皮尔《奇妙对数定律说明书》，可引天下瞩目。
——J.w.L. 格莱舍《大英百科全书》第9版，“对数”条目
=1617.=所有人的心智都具备同等掌握数学的潜能，但我们发现，人们成年后在数学能力上存在巨大差异，这是因为他们的心智在这方面得到的锻炼程度不同。
——塞缪尔·约翰逊
《鲍斯韦尔传约翰逊》（哈珀版，1871年）第2卷，第33页
凡人之心智，皆具习数之潜能，然观乎成年之士，其数学造诣悬殊者，盖因心智于此道所受磨砺之深浅有别也。
——塞缪尔·约翰逊《鲍斯韦尔传约翰逊》（哈珀版，1871年）第2卷，第33页
=1618.=在所有基础学科的教学方法中，算术的教学方法或许是人们理解最透彻的。
——亚历山大·贝恩《作为科学的教育学》（纽约，1898年），第288页
于诸基础学科之教法中，算术之教，或为世人所洞悉最深者也。
——亚历山大·贝恩《作为科学的教育学》（纽约，1898年），第288页
=1619.=仅需磨砺智慧这一点，其益处已无需多言，世人皆认同其重要性，除非有人愚钝到自认无需聪慧——而越是担心自己过度聪慧的人，越不会陷入此误区。综上可见，承认数字之益者众，愿潜心研习以获其利者寡。许多人称赞算术，却鲜少深入实践，除非是为商人贸易等世俗用途。因利欲驱使，商人才愿付出精力。为此，我曾着《算术》第一部分。然若他们知晓第二部分远胜前者，便不会认为投入的时间是浪费，反而会觉得唯有借此掌握技能，助益其他所有研究，才算不负光阴。
——罗伯特·雷科德
《智力的磨石》（伦敦，1557年）
夫磨砺智慧，其利昭然，世人皆知其要，唯愚人自谓无需聪慧耳。然愈惧智者，愈不入此迷途。由此观之，赞算术之益者众，而潜心修习以获其利者寡。多有人誉之，然鲜少深究，唯商贾为市易之故，受利欲驱策，方肯耗神于此。昔吾尝着《算术》首篇，若彼等知次篇之妙更胜前者，必不谓所费时日为虚掷，而觉唯有借此通其术，以助他学，方不负韶光也。
——罗伯特·雷科德《智力的磨石》（伦敦，1557年）
=1620.=“朋友，你看，”我说道，“我们对算术这门学科的真正需求，或许在于它能迫使灵魂运用理智去探索纯粹的真理。”
他回应道：“确实如此，而且效果显着。”
“你是否注意到，但凡擅长算术者，几乎无一例外地在所有学科中都反应敏捷；而天资迟钝者，若经算术训练……也总会比从前更聪慧。”
他答道：“正是如此。”
“此外，我认为很少有学科能像算术这样，让学习者如此费神。”
“确实没有。”
“综上，我们绝不能忽视这门学科，天赋出众者更应深入钻研。”
——柏拉图
《理想国》（戴维斯译），第7卷，第8章
吾言于友曰：“观夫算术，其真用或在于驱迫灵魂，以理智索纯粹之真理。”
友应曰：“诚然，且其效甚着。”
吾复言：“汝岂不见善算术者，于诸学科多机敏；即钝拙之资，若经算术之训……亦必较前聪慧乎？”
友答曰：“正是如此。”
吾曰：“再者，鲜有学科若算术，令习者殚精竭虑也。”
友曰：“诚无他科可比。”
吾曰：“由此观之，此学万不可忽，天赋卓异者尤当精研。”
——柏拉图《理想国》（戴维斯译），第7卷，第8章
=1621.=算术具有极为崇高的教化作用，它迫使灵魂思考抽象的数字，即便论证中涉及可见或可触摸的对象，也拒绝停留在具象层面。
——柏拉图
《理想国》（乔伊特译），第7卷，第525页
算术有至崇之教化，驱迫灵魂思索抽象之数，纵使论证涉目见手触之物，亦不屑滞于具象。
——柏拉图《理想国》（乔伊特译），第7卷，第525页
=1622.=优秀的算术能力能有力培养目标导向的行动力、专注力、毅力、统筹能力、对真理的信念，以及成就带来的喜悦——这些正是构成合格公民的要素……它提升思维能力，带来智识上的愉悦，增强对正义的热爱，并降低对单纯记忆的依赖。
——乔治·迈尔斯
《公共教育中的算术专题研究》（芝加哥），第21页
善算术者，可育定向之能、专注之态、坚毅之志、统筹之智、崇真之念，及成就之悦，此皆为良民之质……既升思维之能，又得智趣之乐，更增慕义之心，且减倚赖记忆之弊。
——乔治·迈尔斯《公共教育中的算术专题研究》（芝加哥），第21页
=1623.=一方面，算术学习的目标是让儿童掌握计算工具；另一方面，是通过对各类物理对象与活动的清晰（数学）洞察，使其更好地理解世界。从某种角度看，整个世界都可以通过数学测量与估算来精准解读与评估。公立学校的算术教育应赋予儿童这种视角，使其具备用数学眼光观察与估算事物的能力。
——c.A. 麦克默里
《算术特殊教学法》（纽约，1906年），第18页
算术之学，一者使童子熟稔计算之器；二者借明晰之数学洞察，观物理诸事，以善悟世相。自某而论，寰宇万象，皆可凭数学之度量估算，精析详评。公立庠序之算术教谕，当授童子此等视角，令其具以数理观物量事之能。
——c.A. 麦克默里《算术特殊教学法》（纽约，1906年），第18页