1577. 那些被视为博物学家的人，大多很少或根本不精通数学，甚至还对数学心存疑虑。
——罗伯特·波义耳
《着作集》（伦敦，1772），第3卷，第426页
世之博物者，多疏算学，甚者且疑之。
——罗伯特·波义耳
《全集》（伦敦，乾隆三十七年），第三卷，四百二十六页
1578. 无论几何学家直接或间接地侵入一个不该由他们耕耘的领域可能有多么有害，生理学家完全排斥数学同样是错误的。这不仅是因为没有数学，他们就无法在中间科学中接受应有的初步训练；还因为他们有必要具备几何和力学知识，以理解生物，尤其是动物机体的复杂结构和运作。对于那些不了解理性力学一般规律的人来说，动物力学（静力学和动力学）必然是不可理解的。平衡和运动的规律……其作用是绝对普遍的，完全取决于能量，而与所考虑的力的性质无关；唯一的困难在于它们在复杂情况下的数值应用。因此，抛开生物学中数值应用的所有想法，我们可以认识到，静力学和动力学的一般定理必定会在生物体的机制中得到稳定验证，对其进行理性研究必然会为其带来不可或缺的启示。最高等的动物在静止和运动时，就像任何其他类似复杂的机械装置一样，唯一的区别在于动力源，而动力源无力改变运动和平衡的规律。因此，理性力学参与实证生物学是显而易见的。力学离不开几何学；此外，我们还看到解剖学和生理学的思考涉及形状和位置的考虑，需要熟悉主要的几何规律，这些规律可以阐明这些复杂的关系。
——A.孔德
《实证哲学》[马蒂诺译]，第5卷，第1章
几何之士，越界而治他学，或有不当；然生理学者尽弃数学，亦非。盖无算学，则中阶之学无以成基；且欲明生物之构、机巧之用，必通几何、力学。昧于力学通律者，安能解动物动静之理？夫平衡、运动之律，普适万物，唯系于能，无关力之本；其难唯在析繁数耳。故虽生物之学，未可强用数值，然静动之理，必验于机体；不明此理，则研生之道蔽矣。至若高等动物，动静之机，与他器相类，唯动力之源异，而律不可改。由此观之，力学与生物学，实相表里。力学倚于几何，而解剖、生理之论，关乎形位，亦赖几何之理，以明幽奥。
——A.孔德
《实证哲学》（马蒂诺译），第五卷，第一章
=1579. 在数学中我们能找到理性的本源，而生物学家也必须借助数学来开展他们的研究。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》（马蒂诺译），第五卷第一章
数学者，理性之本源也。夫生物学家，欲穷其研，必假数学之术。
——孔德《实证哲学》（马蒂诺译），卷五，章一
=1580. 生物学家必须在数学领域熟悉科学证据的真实特征与条件，这样才能将其应用到自身理论领域。在数学中研究最简单、最完美的案例，是在复杂场景中识别科学证据的唯一有效准备。
这种研究对形成思维习惯同样必要，它能让人获得构建并保持实证性抽象概念的能力。若缺乏这种能力，比较方法在解剖学和生理学中都无法应用。作为比较标准的抽象概念必须先被清晰构建，然后始终保持其完整性，否则分析就会失败。这完全符合数学组合的精神，因此数学实践是对此最好的准备。如果一个学生无法在较简单的情形中完成这种过程，那他肯定不具备从事更高层次生物学研究的资格，只能满足于从事收集材料的基础工作，为其他类型的研究者所用。由此数学训练又有了另一个用途：既能检验和分类人才，又能培养和引导他们。或许，把那些只会用无目的、散漫的研究拖累科学的学生排除在外，和恰当地培养那些能更好满足科学研究条件的学生一样，都能带来益处。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》（马蒂诺译），第五卷第一章
生物诸家，当于数学之域，熟谙科学证据之真质与规准，而后可移用于己说。于数学之中，研其至简至善之例，乃于繁复之境辨识证据之正途也。
此学于心智习性之成，亦为要。盖可使人善构实证之抽象概念，且恒持之。若无此能，则比较之法，于解剖、生理之学皆不可施。抽象之念，为比勘之准者，必先明构，而后守其完粹，否则析理无功。此正合数学化合之妙，故习数学者，乃为此学之良基。学者若于简易之境尚不能成其事，则必难任高深之生物学研求，唯可充采撷材料之役，以供他才之用耳。由此观之，数学之训，可鉴人之智愚，别类其材，亦能启牖而导之。或斥去虚浮无向、散漫研求而碍科学者，与育成适足应科学之需者，其益等也。
——孔德《实证哲学》（马蒂诺译），卷五，章一
=1581. 既然几何学家常用科学虚构手法，那么只要系统运用且足够严谨，这种方法也没有充分理由不能引入生物学。在数学研究中，通过设想一系列假设情形带来了巨大好处。这些情形虽属人为构造，但思考它们有助于厘清真实问题或对其进行基础阐述。这种方法常与假设法混淆，但二者完全不同：假设法中只有解决方案是虚构的，而科学虚构中问题本身就是根本上理想化的。它在生物学中的作用肯定无法与在数学中相比，但我认为，比较生物学的高级概念具有抽象特征，使得它们适合用这种方法处理。具体做法是，在不同已知生物之间插入某些纯粹虚构的生物，通过让生物序列更具同质性和连续性，来促进比较研究。或许今后会发现，这些虚构生物中有不少能在尚未探索的生物中或多或少地得到印证。在目前对生物体的认知水平下，或许可以设想一种能满足特定生存条件的新生物。无论如何，按照几何学家的方式，将真实案例与合理设想的案例并置，无疑会在未来用于完善比较解剖学和生理学的一般规律，甚至可能偶尔为直接探索提供预见。即便在当下，合理运用这种方法也能极大简化和澄清普通的生物学教学体系。但只有最高层次的研究者才能被信任使用这种方法。一旦采用，它将成为生物学与数学之间的又一个关联基础。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》（马蒂诺译），第五卷第一章
几何之士，常以科学虚构为法，若谨而用之，序而施之，于生物学亦无不可纳之理。数学之研，设虚例以推，虽非实境，然可明本真，阐幽微。此术与假设之法异也。假设者，唯解为虚；而虚构者，题自为幻。其用于生物学，固不及数学之广，然比较生物学之高深概念，本具抽象之质，堪为此法所驭。其术乃于已知诸生物间，设虚构之种，使生物之序更趋齐整、连贯，以利比观。或异日于未探之域，得见虚实相应者。以今时对生物之识，亦可构新种，以合特定存生之则。无论如何，效几何家之法，列实证与虚设之例，则比较解剖、生理之通律可完，或能预察未知。即于当下，善用此法，亦可简生物学授业之繁，明其理。然非上智精研之士，不可托也。若行此法，则生物与数学，又添关联之基。
——孔德《实证哲学》（马蒂诺译），卷五，章一
=1582. 我认为可以有把握地说，一个对数学甚至只是略知皮毛的人，很难对生理学的基本原理有深入理解。
——罗伯特·波义耳
《着作集》（伦敦，1772），第三卷，第430页
波义耳曰：“于数学疏浅者，难深明生理学之本理也。”
——波义耳《着作集》（伦敦，1772），卷三，页四百三十
=1583. 数学不仅有可能应用于心理学，而且是必要的。这种必要性的原因简言之就是：只有通过数学，才能达到所有思考的终极目标，即确定性。
——约翰·弗里德里希·赫尔巴特
《着作集》（凯尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890），第五卷，第104页
数学之于心理学，非唯可行，实乃必需。究其因，唯数学可至思辨之极，得确凿之信。
——赫尔巴特《着作集》（凯尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890），卷五，页一百零四
=1584. 所有更明确的知识都必须从计算开始，这不仅对记忆、想象、理解的理论至关重要，对感觉、欲望和情感的学说同样如此。
——约翰·弗里德里希·赫尔巴特
《着作集》（凯尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890），第五卷，第103页
凡确切之知，必始于算。此于记忆、想象、理解之论，及感觉、欲念、情志之说，皆为要义。
——赫尔巴特《着作集》（凯尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890），卷五，页一百零三
=1585. 在不久的将来，数学将在医学中扮演重要角色。已有越来越多的迹象表明，生理学、描述解剖学、病理学和治疗学都无法逃避数学的规范。
——马克斯·德索伊尔
《韦斯特曼月报》，第77卷，第380页；引自阿伦斯《数学中的戏谑与严肃》（莱比锡，1904），第395页
未几，数学将于医道显重。今已有征，生理、解剖、病理、治疗诸学，皆难逃数学之范。
——德索伊尔，引自《韦斯特曼月报》，卷七十七，页三百八十；阿伦斯《数学中的戏谑与严肃》（莱比锡，1904），页三百九十五
=1586. 经过数学化发展的社会科学将成为文明的控制性因素。
——威廉·F. 怀特
《基础数学剪贴簿》（芝加哥，1908），第208页
数学化之社会科学，将为文明之枢机。
——怀特《基础数学剪贴簿》（芝加哥，1908），页二百零八
=1587.=显然，即便不考虑数学对于无机哲学研究的必要性，（为社会学科学做准备的）这种教育也必须建立在数学哲学的基础之上。只有在数学领域，社会学家或其他任何人才能获得对科学证据的真正认知，并养成理性且果断的论证习惯；简而言之，通过从源头研究普遍的实证主义，人们才能学会满足所有实证思考的逻辑条件。鉴于社会科学极具难度，社会学家必须更谨慎地获取并运用这种训练。——奥古斯特·孔德
《实证哲学》（马蒂诺译），第6卷，第4章
夫社会学之基，虽勿论数学于无机哲学之要，亦必筑于数理哲学之上。盖唯数理之域，社会学家及诸学者，方可得科学实证之真义，成思辨论断之习。循此，可探实证之源，悟思辨之理。社会学深邃难测，学者尤当于此精研熟习，以应其艰。 —— 孔德《实证哲学》（马蒂诺译）卷六 第四章
=1588.=显然，作为社会单元的个体和作为社会集合体的国家，都需要一定的数学知识（如算术和代数）来处理事务。这其中包括单利与复利的利息理论、贴现与摊销相关问题；若某些州在筹集资金时大量依赖彩票，还需加入概率论问题。随着国家组织化程度提高，且愈发关注对社会生活的科学分析，获取各类统计信息的需求变得迫切，而只有当从事统计工作的主导者具备必要的统计学理论数学训练时，才能合理地获取、整理、关联和解读这些信息。（数字本身不会说谎，但通过不科学的方式编制、以不恰当的方式分析的统计数据几乎必然具有误导性；若这种情况长期存在且本可避免，那么所谓的统计学家恐怕真能被称为骗子。）各类保险依赖统计信息，且保险在现代国家中占据重要地位（尽管常由私营企业而非政府主导），这使得相关理论对我们的社会生活至关重要。——E.b.威尔逊
《美国数学学会公报》，第18卷（1912年），第463页
人立于世，国成于众，皆赖数理，如算学、代数之类，以理诸事。此中，利钱之算，单复有别；贴现代偿，各有其法。若夫州郡以博彩集资，则需参以概率之学。及国体愈密，愈重民生之析，统计之需，刻不容缓。非深通数理、精于统计者，无以正取、析理、参验之。（谚云“数不妄言”，然统计失当，析之无术，则谬以千里。若此弊久存，虽号为统计之士，与虚妄者何异？）今时保险之业，倚重统计，虽多为私贾操持，然于国计民生，实乃枢机，故其数理之学，至关紧要。 —— 威尔逊《美数学会公报》卷十八 （1912）第463页