444. 数学教学作为更复杂研究的准备，其价值不在于教条的应用，而在于方法的适用。数学将永远是演绎方法最完美的典范；数学在简单物理分支中的应用，为哲学家提供了掌握其艺术中最困难也最重要部分的唯一学校——即利用简单现象的规律来解释和预测复杂现象。这些理由足以证明数学训练是真正科学教育不可或缺的基础，并认同柏拉图的观点：不懂几何者，缺乏从事高等哲学研究的关键资质。——约翰·斯图尔特·密尔
《逻辑体系》，第3卷，第24章，第9节
数学之教，以为深造之基，其贵在法而不在说。数学者，演绎之法至善之范也；其施于简易物理，为哲者研习妙术之堂奥——即借简象之律，以释玄奥、测未然。以此观之，数学之训实为科学正途之根基。昔柏拉图云：不谙几何者，难入高妙哲学之门，诚哉斯言。
——约翰·斯图尔特·密尔，《逻辑体系》，第三卷，第二十四章，第九节
445. 几何学这门科学对每个自然法则研究者都不可或缺且需持续参考，因为空间与数量的关系是书写自然法则的字母表。但除了这种重要性，几何学对所有想理解人类知识基础及其获取方法的人具有独特价值。研习几何者能以非数学读者难以想象的洞察力和清晰度确信必然真理的存在（许多真理复杂而惊人），并认识到人类心智所能领悟的最简单自明的少数真理，可通过系统演绎推导出最深远意外的结果。——威廉·惠威尔
《归纳科学的哲学》，第1部，第2卷，第4章，第8节（伦敦，1858年）
几何之学，为格物者所必资，恒为依凭。盖空间数量之理，犹自然之符契也。然其要不止于此，凡欲明知识本源、悟致知之道者，几何之益独深。习之者能以洞见明察，确知必然之理（虽多幽渺瑰奇），且悟至简自明之理，经系统推演，可达深远不测之境。
——威廉·惠威尔，《归纳科学的哲学》，第一部，第二卷，第四章，第八节（伦敦，1858年）
446. 数学虽不像速记术或砌砖手艺那样提供快速回报，却能培养深思熟虑和准确表述的能力。而说真话是一个人最具社交价值的品质之一。闲谈、奉承、诽谤、欺骗，皆源于未经真理陈述能力训练的散漫思维——这种能力正是最高效用的体现。——S.t.达顿
《学校与家庭中的教育社会面向》（伦敦，1900年），第30页
数学之用，虽不若速记术砌砖术见利立竿，然可养慎思明辨、精准达意之能。夫诚笃之言，乃立世之贵德也。闲言、谄语、谗毁、诈伪，皆起于失于真理之训、流于散漫之思。而数学所育之述理之能，其用至宏。
——S.t.达顿，《学校与家庭中之教育社会面向》（伦敦，1900年），第三十页
447. 正是源于心灵的这种绝对超然与宁静，数学思考获得了其最显着的优势之一；因为这里没有任何事物能激起想象力的兴趣；判断力得以自由无偏地审视问题。对理解力而言，所有比例、任何数量关系都是等同的，因为无论从更大、更小、相等或不等的关系中，都能推导出相同的真理。——埃德蒙·伯克《论崇高与美丽》第三部分第2节
盖心体超然，湛然宁静，此数学之思所以得其一至要之胜也。缘是中无物能动想象之情，故判识之官能平正不倚，以观物究理。于智府而言，凡比例、数量之关系，皆无殊异。盖自大小、等不等诸关系中，皆可推致同归之理也。
——埃德蒙·伯克《论崇高与美丽》第三部分第2节
448. 数学中形式与内容的相互作用，孕育出使学生能在特定范围内独立创造，并通过自我反思拓展知识的方法。伴随着这类思维活动而产生的智力觉醒，以及逐渐萌生的思想自立感，或许正是数学训练所能带来的最美好、最高贵的成果。——阿尔弗雷德·普林斯海姆《论数学的价值与所谓无用性》；德国数学家协会年度报告（1904年），第374页
数学之妙，在形质相济，由此而生妙法，使学者能于畛域之内，独运匠心，自反以拓其知。当此思理流转之际，灵府豁然，渐生自立之念。斯盖数学涵养之至美至贵者也。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆《论数学之价值与所谓无用性》；德国数学家协会年度报告（1904年），第374页
449. 要理解几何学真谛的人，必须勇敢深入其精髓，学会像几何学家那样思考与感受。我相信，若不如此投入，若不以几何学允许的方式研习——正如我确信它能够被传授的那样——就不可能实现这样的境界：在研究中强化理性、敏捷思维，唤醒并提升对秩序与美的感知，将真理乃人格完整之本这一信念转化为心智与道德构成的永恒准则，正如古老而精辟的箴言所说研习终成习性。——J·J·西尔维斯特《几何学预备讲稿》；《数学论文集》（剑桥，1908年）第2卷，第9页
欲窥几何之奥赜者，必奋然深探其阃奥，习几何家之思，体几何家之感。吾深信，若不殚精竭虑，不以几何可传之法修学，则终难臻此境：研索以坚其理，运思以敏其智，唤醒灵府而彰其对秩序、美善之悟，化“真理乃立身之本”之旨，为心德之恒规。古训有云“习久成性”，此之谓也。
——J·J·西尔维斯特《几何学预备讲稿》；《数学论文集》（剑桥，1908年）第2卷，第9页
450. 数学知识能赋予心灵力量，使其摆脱偏见、轻信与迷信。——约翰·阿布斯诺特《数学学习的实用性》
研数学之知，可壮心魄，使祛偏见、破愚妄、除迷信。
——约翰·阿布斯诺特《数学学习之实用性》
451. 当少年开始理解可见的点之前存在着不可见的点，理解两点间最短距离在被铅笔绘制于纸面之前就已被构想为直线时，他会体验到自豪与满足。这理所当然，因为思想的源泉已向他敞开，理想与现实、潜能与实现之间的区别对他变得清晰；从此哲学家再难向他揭示新的本质，作为几何学家的他已发现一切思维的根基。——歌德《散文格言·伦理篇》第六卷，第455条
童子若悟：未形于目之点，先存于思；未绘于纸之直线，已具于理，则必欣然有得，志意自豪。诚宜然也！盖此乃启其灵府之源，使明理想与实境、潜能与成就之别。自此以往，虽哲人妙论，亦难示以全新之精要，以其身为几何家，已得万虑之根矣。
——歌德《散文格言·伦理篇》第六卷，第455条
452. 在数学......以及数学应用之后的自然哲学中，我们见证了人类心智力量的最崇高例证，以及通过修养可能达到的卓越高度。熟悉这些科学会自然引导我们正视自身才能，并对其他知识领域的进步抱有乐观期待。此外，由于数学与物理真理在推论上完全客观，理解力会轻易接受呈现的证据；这种方式可望养成信赖自身结论的习惯，从而在后续追求更富意义的道德真理时，增强抵御怀疑主义弱点的能力。——杜格尔德·斯图尔特《人类心灵哲学》第三部第一章第3节
数学及其所用之自然哲学，诚人类心智伟力之极显，亦修养所臻之高境也。熟稔此学，则能自审其才，于他学之进亦怀乐观。且数理物理之真，推论皆本于客观，故智府易信其证。由此渐成自信其断之习，他日求道德之真，亦能免惑于怀疑之病矣。
——杜格尔德·斯图尔特《人类心灵哲学》第三部第一章第3节
453. 那些能轻松驾驭数学难题的人，会在这门学科的研究中发现巨大的魅力，有时甚至达到着迷的程度。这种感受虽非人人皆有，但数学确实蕴含着构成知识愉悦感的强烈兴趣元素。那些解决问题的精妙方法，会因智力上的成就感而令心灵振奋；而这门科学无穷无尽的构造，更让我们在惊叹中流连忘返。——亚历山大·贝恩《作为科学的教育》（纽约，1898年），第153页
夫善解算学难题者，于斯道钻研之际，常觉妙趣无穷，甚至心醉神迷。虽此乐非常人可得，然算学之中，实含致知悦情之趣。其解题之巧法，能畅神思于智成之境；其理法之渊深，可使学者流连赞叹，忘乎所以。
——亚历山大·贝恩《作为科学之教育》（纽约，1898年），第153页
454. 思考不过是比较观念，辨别异同并推导结论的过程。它是基于清晰认知的具体事例来把握普遍真理，本质就是归纳与演绎。谁能否认孩子能从这样的思维序列中获益：2颗弹珠加3颗弹珠是多少？2支铅笔加3支铅笔？2个球加3个球？2个孩子加3个孩子？2英寸加3英寸？2英尺加3英尺？2加3？谁不曾见过某个小学习者在这系列问题结束时恍然大悟地欢呼：原来永远都是这样啊！不是吗？这正是自主完成归纳步骤时产生的喜悦光芒。这种源自我能独立突破的真实生命欢愉，其发现的价值与对思维产生的持久影响，正如牛顿顿悟万有引力定律时那般确凿。正是这些发现的震颤孕育并滋养了求知之爱与智识快乐。优秀的算术教学应当充满这样的契机。——乔治·迈尔斯《公共教育中的算术》（芝加哥），第13页
夫思者，比类辨异、推求至理之谓也。盖以具体之例，探天下之通则，此即归纳演绎之要旨。试观童子，屡算二珠加三珠、二笔加三笔、二儿加三儿，乃至二加三之数，终而豁然有悟，欣然叹曰：“固如是也！”此乃自悟归纳之乐，其欣喜之情，与牛顿悟万有引力之妙，虽事殊而理一。此等灵明之悟，正滋育向学之心、启智之乐。善教算术者，当广设此等悟境。
——乔治·迈尔斯《公共教育中之算术》（芝加哥），第13页
455. 数学通识课程应作为所有军官的必修科目，不仅因其实用价值，更因其教育价值——它能训练逻辑思维方式，培养绝对诚实的品质，以及通过明确方法达成确定结果的信心。——c·p·埃科尔斯《西点军校与安纳波利斯海军学院的数学教育》；美国教育局公报1912年第2期，第11页
算学通识，宜为诸将校必修之业。非独因其致用，更因其可炼逻辑之思，养诚笃之德，增循法致果之信。
——c·p·埃科尔斯《西点军校与安纳波利斯海军学院的数学教育》；美国教育局公报1912年第2期，第11页
456. 在最严密的思维训练中，求真的本能会自然增强。因为每一次辨别正误思维能力的提升，每一种促进思维严谨性的习惯，都将使优秀学子更愿也更能探求生活中的真理并扞卫它。——F·莱特《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第28页
若精研严密之学，其求真之心自当益固。盖每辨是非、每砺思维，皆能使学者益慕真理、勇于扞卫。
——F·莱特《高等数学教学指导》（柏林，1906年），第28页
457. 我并不认为算术学习的主要价值在于其中蕴含的道德教育。我只主张：通过日复一日地让学生深刻体会到——对于他们能够解决的问题，总存在某个正确答案和错误答案；存在某些方法能确证答案的正确性，这些方法会自动排除谬误与粗疏；学习者能够自主运用这些方法得出真理而非谬误。这种严格遵循准则、坚守界限的过程，必然会在学生思维中留下超越浅层影响的鲜明道德印记......与真理为邻，在辨识和确证正确事物时游刃有余，目睹谬误被持续而彻底地摒弃，感受到能独立运用这些方法进行思考——这些都将对道德品格产生真实、积极且纯净的陶冶作用。教学工作中真正重要的，是那些始终以平和坚定的方式唤起学生理性认同的潜移默化之力。最终在性格上留下最持久深刻烙印的，并非喧闹激烈的训导，甚至不是教师讲台上的戏剧化表演或雄辩，而是这些为真理发声、与谬误抗衡的沉静而强大的力量。倘若按学科对道德人格的塑造力来排序，优秀的算术课程必居前列。——乔治·迈尔斯《公立教育中的算术》（芝加哥），第18页。
余未尝以算术之要，在于育德也。然日课算学，使学子深知：凡可解之题，必有正误之分；亦有证确之法，可祛谬除疏，而学者自能循法得真。如此守正循规，必于其心镌以深厚之德印。与真理相伴，明辨是非，祛妄存真，又能独运其法，此皆可润德养心，纯净无杂。夫教之至要，非喧嚣之训诫、炫技之讲说，乃以静笃之力，默化其心，令其自悟。若论育德之功，善教算术者，必列前茅。
——乔治·迈尔斯《公立教育中之算术》（芝加哥），第18页